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sera $\mathrm {\frac {C'}{B}} ,$ en prenant $\mathrm {C} '$ et $\mathrm {B}$ positivement ; donc (18) on sera sûr de trouver les valeurs de $r$ et $s$ parmi les termes d’une des fractions principales convergentes vers $\mathrm {\frac {C'}{B}} \,;$ or, cette fraction étant rationnelle et réduite déjà à ses moindres termes, sera nécessairement la dernière des fractions principales de la série (C) (11) ; donc, si ${\frac {l_{\rho }}{\mathrm {L} _{\rho }}}$ est l’avant-dernière fraction de la même série, on aura (13)

$\mathrm {C'L_{\rho }-B} l_{\rho }=\pm 1,$

le signe supérieur étant pour le cas où le quantième $\rho$ est impair, et l’inférieur pour celui où $\rho$ est pair ; ainsi il n’y aura qu’à prendre

$r=\mp l_{\rho }\quad {\text{et}}\quad s=\mp \mathrm {L} _{\rho }\,;$

si l’un des nombres $\mathrm {B,C'}$ ou tous les deux étaient négatifs, on les regarderait comme positifs, et l’on prendrait $r$ ou $s,$ ou tous les deux, avec des signes contraires.

Ayant ainsi trouvé des valeurs particulières de $r$ et $s,$ on aura, pour les valeurs générales de $t$ et $u$ (4),

$t=\mathrm {A} r+m\mathrm {C} ,\quad u=\mathrm {A} 's+m\mathrm {B} ,$

$m$ étant un nombre quelconque entier positif ou négatif.

25. Corollaire. — Le principal usage de ce Problème est pour résoudre les questions où l’on demande de trouver un nombre qui, étant divisé par autant de nombres donnés qu’on voudra, laisse des restes aussi donnés ; car, soient, $a,b,c,\ldots$ les diviseurs donnés, $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ les restes, et $t,u,x,\ldots$ les quotients inconnus, il est clair que le nombre cherché devra être exprimé également par

$at+\alpha ,\quad bu+\beta ,\quad cx+\gamma ,\ldots ,$

ce qui donnera autant d’équations qu’il y aura de diviseurs donnés, moins un.