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$E_{\mu +\varpi }$ est égal à $1$ lorsque $\mu +\varpi$ est impair, ou égal à $-1$ lorsque $\mu +\varpi$ est pair, parmi tous les termes qui auront $\mu +\varpi +n\nu$ pour exposant, il n’y aura que ceux où $n$ sera pair qui seront de la même qualité, et qui pourront par conséquent donner des solutions de l’équation (K). Ainsi l’on fera dans ce cas, comme ci-dessus

$\rho =\mu +n\nu +\varpi -1,$

mais il ne faudra prendre pour $n$ que des nombres positifs pairs. Au contraire, si le terme est égal à $1,$ $\mu +\varpi$ étant pair, ou égal à $-1,$ $\mu +\varpi$ étant impair, alors tous les termes qui auront $\mu +n\nu +\varpi$ pour exposant, et où $n$ sera impair, seront égaux à $1$ lorsque l’exposant sera pair, et à $-1$ lorsqu’il sera impair ; ainsi, ces termes ayant la qualité requise pour la solution de l’équation, on pourra encore prendre en général

$\rho =\mu +n\nu +\varpi -1,$

pourvu que $n$ ne dénote que des nombres entiers positifs impairs. Au reste, ce cas peut aussi se ramener au précédent en prenant le terme $\mathrm {E} _{\mu +\nu +\varpi }$ au lieu du terme $\mathrm {E} _{\mu +\varpi }\,;$ car il est évident que le terme dans ce cas sera égal à $+1$ ou à $-1,$ selon que son exposant sera impair ou pair.

En général, le cas de $\nu$ impair peut se réduire à celui de $\nu$ pair, car pour cela il n’y aura qu’à continuer la série $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ jusqu’au terme $\mathrm {E} _{\mu +2\nu },$ et ensuite prendre $2\nu$ à la place de $\nu ,$ tout le reste demeurant le même.

Connaissant ainsi l’exposant $\rho ,$ on pourra trouver les valeurs de $l_{\rho }$ et $\mathrm {L} _{\rho }$ d’où dépendent celles de $u$ et $y$ (numéro précédent) par les formules du n^o 11 ; pour cela, il faudra continuer la série des nombres $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots$ jusqu’au terme $\lambda _{\rho },$ ce qui est facile ; car on aura

$\lambda _{\mu +\varpi +1}=\lambda _{\mu +1},\quad \lambda _{\mu +\varpi +2}=\lambda _{\mu +2},\ldots \quad \mathrm {et\ en\ g{\acute {e}}n{\acute {e}}ral} \quad \lambda _{\mu +n\nu +\varpi }=\lambda _{\mu +\varpi }.$

Mais, quand on aura une fois calculé les nombres $l_{1},l_{2},l_{3},\ldots$$\mathrm {L_{1},L_{2},L_{3}} ,\ldots$ jusqu’à $l_{\mu },\mathrm {L} _{\mu },$ on pourra trouver les expressions générales de $l_{\rho }$ et