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leurs de $t$ et $u\,;$ car, dès que dans la série $\mathrm {E,E_{1},E_{2}} ,\ldots$ on sera parvenu à un terme $\mathrm {E} _{\rho +1}=1$ ou $-1,$ selon que $\rho$ sera pair ou impair, il n’y aura plus qu’à calculer les valeurs de $l,l_{1},l_{2},\ldots$ jusqu’à $l_{\rho }$ et l’on aura sur-le-champ les valeurs cherchées de $t$ et $u.$

Mais, si l’on veut avoir les expressions générales de $u$ et $t,$ alors il faudra calculer encore les nombres $\mathrm {H_{1},H_{2}} ,\ldots$ jusqu’à $\mathrm {H} _{\nu }$ par les formules suivantes

${\begin{aligned}\mathrm {H} \ \ &=0,\\\mathrm {H} _{1}&=1,\\\mathrm {H} _{2}&=\lambda _{\mu +2}\mathrm {H} _{1},\\\mathrm {H} _{3}&=\lambda _{\mu +3}\mathrm {H_{2}+H_{1}} ,\\\mathrm {H} _{4}&=\lambda _{\mu +4}\mathrm {H_{3}+H_{2}} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}&f_{\mu }={\frac {l_{\mu }\varepsilon _{\mu }}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}+l_{\mu -1},\\&\mathrm {K_{\nu }={\frac {H_{\nu }\varepsilon _{\mu }}{E_{\mu +1}}}+H_{\nu -1}} ,\\&\mathrm {G_{\varpi -1}=H_{\varpi -1}\varepsilon _{\mu +\varpi -1}+H_{\varpi -2}E_{\mu +\varpi }} ,\end{aligned}}$

on aura, par l’une des formules du n^o 44 des Additions citées,

$\left(f_{\mu }+{\frac {l_{\mu }{\sqrt {\beta }}}{\mathrm {E} _{\mu +1}}}\right)\mathrm {\left(G_{\varpi -1}+H_{\varpi -1}{\sqrt {\beta }}\right)} \mathrm {\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} =g_{\rho }+l_{\rho }{\sqrt {\beta }},$

ou bien, en supposant encore

${\begin{aligned}\varphi =&f_{\mu }\mathrm {G} _{\varpi -1}+{\frac {l_{\mu }\mathrm {H} _{\varpi -1}\beta }{\mathrm {E} _{\mu +1}}},\\\psi =&f_{\mu }\mathrm {H} _{\varpi -1}+{\frac {l_{\mu }\mathrm {G} _{\varpi -1}}{\mathrm {E} _{\mu +1}}},\end{aligned}}$

on aura cette formule

$\left(\varphi +\psi {\sqrt {\beta }}\right)\mathrm {\left(K_{\nu }+{\frac {H_{\nu }{\sqrt {\beta }}}{E_{\mu +1}}}\right)} ^{n}=g_{\rho }+l_{\rho }{\sqrt {\beta }},$