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soient donc $u+z=\mathrm {Q}$ et $u-z=\mathrm {P} ,$ en sorte que

$p=f+\mathrm {P} \quad {\text{et}}\quad q=-f+\mathrm {Q} \,;$

on aura, après toutes les substitutions,

${\begin{aligned}\mathrm {C} p^{4}&+\mathrm {M} p^{3}+\mathrm {D} p^{2}-\mathrm {M} f^{2}p+\mathrm {E} \\=&f^{5}\left(\gamma '+\varepsilon ^{\text{v}}\right)+f^{4}[\gamma +\delta ''+\varepsilon ^{\text{ıv}}+(4\gamma '+2\mu '')\mathrm {P} ]\\&+f^{3}\mathrm {\left[\delta '+\varepsilon '''+(4\gamma +2\mu '+2\delta '')P+(6\gamma '+3\mu '')P^{2}\right]} \\&+f^{2}\mathrm {\left[\delta +\varepsilon ''+2(\mu +\delta ')P+(6\gamma +3\mu '+\delta '')P^{2}+(4\gamma '+\mu '')P^{3}\right]} \\&+f\mathrm {\left[\varepsilon '+2\delta P+(3\mu +\delta ')P^{2}+(4\gamma +\mu ')P^{3}+\gamma 'P^{4}\right]} \\&+\varepsilon +\mathrm {\delta P^{2}+\mu P^{3}+\gamma P^{4}} .\end{aligned}}$

Or,

${\begin{aligned}&\gamma +\varepsilon ^{\text{v}}=0,\\&\gamma +\delta ''+\varepsilon ^{\text{ıv}}=0,\\&4\gamma '+2\mu ''=0,\\&\delta '+\varepsilon '''=0,\\&4\gamma +2\mu '+2\delta ''=0,\\&6\gamma '+3\mu ''=0,\\&\delta +\varepsilon ''=g^{2}\left(m^{2}+n^{2}\right)+2gmn\mathrm {Z} -i^{2}\left(g^{2}-\mathrm {Z} ^{2}\right),\\&\mu +\delta '=gmn+i^{2}\mathrm {Z} +2\alpha g(g-\mathrm {Z} )+\beta \left(g^{2}-\mathrm {Z} ^{2}\right),\\&6\gamma +3\mu '+\delta ''=i^{2}-4(\alpha g+\beta \mathrm {Z} ),\\&4\gamma '+\mu ''=-2\beta ,\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Donc, puisque les coefficients des termes affectés de $f^{5},$ de $f^{4},$ et de $f^{3},$ sont nuls, et que ceux des termes affectés de $f^{2}$ ne le sont pas, il s’ensuit, à cause de $f=\infty ,$ que ces deux derniers termes sont les seuls qui doivent être conservés ; de sorte qu’on aura

${\begin{aligned}\mathrm {C} p^{4}&+\mathrm {M} p^{3}+\mathrm {D} p^{2}-\mathrm {M} f^{2}p+\mathrm {E} \\=&f^{2}\left[(4\gamma '+\mu '')\mathrm {P} ^{3}+(6\gamma +3\mu '+\delta '')\mathrm {P} ^{2}+2(\mu +\delta ')\mathrm {P} +\delta +\varepsilon ''\right].\end{aligned}}$

De même, en changeant $p$ en $q$ et $\mathrm {M}$ en $\mathrm {N} ,$ et, par conséquent, $\mathrm {P}$ en $\mathrm {Q} ,$ $f$ en $-f$ et $\mu$ en $\nu ,$ $\mu '$ en $\nu ',$ $\mu ''$ en $\nu '',$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {C} q^{4}&+\mathrm {N} q^{3}+\mathrm {D} q^{2}-\mathrm {N} f^{2}q+\mathrm {E} \\=&f^{2}\left[(4\gamma '+\nu '')\mathrm {Q} ^{3}+(6\gamma +3\nu '+\delta '')\mathrm {Q} ^{2}+2(\nu +\delta ')\mathrm {Q} +\delta ''+\varepsilon ''\right].\end{aligned}}$