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Maintenant l’équation ${\frac {d\mathrm {A} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {B} }{dx}}=0$ donnera

${\frac {d\mathrm {B} }{dx}}=-b-2cy,$

d’où, en intégrant,

$\mathrm {B} =-(b+2cy)x+\operatorname {fonct} .y\,;$

mais l’autre équation ${\frac {d\mathrm {B} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {C} }{dx}}=0$ donnera de même

$\mathrm {B} =-(h+2cx)y+\operatorname {fonct} .x\,;$

de sorte qu’on aura

$\mathrm {B=K} -bx-hy-2cxy\,;$

$\mathrm {K}$ étant une constante arbitraire.

Ayant déterminé ainsi les quantités $\mathrm {A,B}$ et $\mathrm {C} ,$ on aura pour les multiplicateurs des équations proposées les deux quantités

$2\mathrm {A} dx+\mathrm {B} dy,\quad {\text{et}}\quad \mathrm {B} dx+2\mathrm {C} dy\,;$

et il ne restera plus qu’à rendre intégrable la formule

$(2\mathrm {AM+BN} )dx+(\mathrm {BM+2CN} )dy\,;$

car alors, en nommant $\mathrm {Z}$ l’intégrale de cette formule, on aura l’équation du premier ordre

${\frac {\mathrm {A} dx^{2}+\mathrm {B} dxdy+\mathrm {C} dy^{2}}{2dt^{2}}}+\mathrm {Z=const} .$

Or, pour qu’une quantité telle que

$(2\mathrm {AM+BN} )dx+(\mathrm {BM+2CN} )dy$

soit une différentielle exacte, il faut, comme on sait, que l’on ait

${\frac {d(2\mathrm {AM+BN} )}{dy}}={\frac {d(\mathrm {BM+2CN} )}{dx}}\,;$

c’est l’équation de condition qui doit avoir lieu pour que les équations proposées admettent une intégrale du premier ordre.