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${\begin{aligned}&d\left({\frac {r{\sqrt {p}}}{\mathrm {K} }}\cos q\right)={\frac {2\mathrm {K} \cos(q+\alpha )(dq+d\alpha )}{r{\sqrt {p}}\sin q}}\\&\quad +\left\{{\frac {l{\sqrt {p}}}{2\mathrm {K} }}+\left[{\frac {2\mathrm {K} \sin(q+\alpha )}{r{\sqrt {p}}\sin q}}-{\frac {r{\sqrt {p}}\cos q}{2\mathrm {K} }}\right]\left[{\frac {r^{2}p\sin ^{2}q}{4\mathrm {K} ^{2}}}+\cos(q+\alpha )\right]\right\}\\&\quad \qquad \times {\frac {8\mathrm {K} ^{2}r{\sqrt {p}}\sin qd\left(r{\sqrt {p}}\sin q\right)+16\mathrm {K} ^{4}d\cos(q+\alpha )}{16\mathrm {K} ^{4}-\left[r^{2}p\sin ^{2}q+4\mathrm {K} ^{2}\cos(q+\alpha )\right]^{2}}}.\end{aligned}}$

Ces équations sont, comme on voit, trop compliquées pour qu’on puisse en tirer quelque lumière sur la loi des forces tendantes $\mathrm {R}$ et $\mathrm {T} \,;$ cependant elles pourraient servir à déterminer la vraie figure de la fusée au moins par une équation différentielle.

Pour cela on supposera que $\mathrm {C}$ (fig. 3, p. 86) soit le centre du barillet ou tambour, où le ressort est renfermé, et à la circonférence duquel l’extrémité mobile $\mathrm {A}$ est attachée ; de cette manière $r$ sera le rayon du tambour qui est constant, et sera l’angle que le tambour aura parcouru en tournant autour de son axe pour bander le ressort ; de sorte que $r\alpha$ sera égal à la longueur de la corde désentortillée d’autour du tambour et entortillée autour de la fusée ; donc, si l’on considère la courbe qui, par sa révolution autour de son axe, produirait le solide dont on doit faire la fusée, et qu’on nomme $y$ l’ordonnée de cette courbe et $ds$ l’élément de l’arc, on aura $\int yds$ pour la portion de surface de la fusée qui sera couverte par la corde et qui devra par conséquent être égale à la longueur $\alpha r$ de la corde entortillée à la fusée, cette longueur étant divisée par le diamètre même de la corde ; ainsi, nommant $e$ le diamètre ou l’épaisseur de la corde, on aura d’abord

$\alpha ={\frac {\int yds}{er}}.$

Maintenant il est clair que la corde ne sera tendue par le ressort qu’avec une force égale à $\mathrm {T} =psinq,$ l’autre force $\mathrm {R}$ ne faisant que presser la surface du tambour au point où l’extrémité du ressort est attachée ; donc le moment de la force du ressort pour faire tourner la fusée sera