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figure d’un cercle, car on aurait, dans ce cas,

$ds={\frac {2\mathrm {K} ^{2}d\varphi }{\mathrm {M} c}},\quad dy={\frac {2\mathrm {K} ^{2}\sin \varphi d\varphi }{\mathrm {M} c}},\quad dx={\frac {2\mathrm {K} ^{2}\cos \varphi d\varphi }{\mathrm {M} c}}\,;$

d’où l’on tirerait par l’intégration

$s={\frac {2\mathrm {K} ^{2}}{\mathrm {M} c}}\varphi ,\quad y={\frac {2\mathrm {K} ^{2}}{\mathrm {M} c}}(1-\cos \varphi ),\quad x={\frac {2\mathrm {K} ^{2}}{\mathrm {M} c}}\sin \varphi \,;$

ce qui montre que la courbe est un cercle dont le rayon est ${\frac {2\mathrm {K} ^{2}}{\mathrm {M} c}}.$

Donc, si les quantités $\mathrm {P}$ et $\mathrm {N} ,$ au lieu d’être nulles, étaient seulement très-petites vis-à-vis de la quantité ${\frac {2\mathrm {K} ^{2}}{\mathrm {M} c}},$ la courbe serait à très-peu près circulaire, et elle ne serait autre chose qu’une espèce de spirale fort peu différente d’un cercle.

Comme ce cas mérite d’être examiné en détail, nous allons en faire l’objet, du paragraphe suivant.

§ XII.

Supposons donc $\mathrm {P}$ et $\mathrm {N}$ très-petites vis-à-vis de ${\frac {\mathrm {M} ^{2}c^{2}}{4\mathrm {K} ^{2}}},$ et la quantité radicale

${\frac {\mathrm {K} }{\sqrt {{\dfrac {\mathrm {M} ^{2}c^{2}}{4\mathrm {K} ^{2}}}+\mathrm {P} (1-\cos \varphi )+\mathrm {N} \sin \varphi }}}$

deviendra à très-peu près

${\frac {2\mathrm {K} ^{2}}{\mathrm {M} c}}\left[1-{\frac {2\mathrm {K^{2}P} }{\mathrm {M} ^{2}c^{2}}}(1-\cos \varphi )-{\frac {2\mathrm {K^{2}N} }{\mathrm {M} ^{2}c^{2}}}\sin \varphi \right].$

Soit, pour abréger,

${\frac {2\mathrm {K} ^{2}}{\mathrm {M} c}}=\mathrm {R} ,\quad {\frac {2\mathrm {K^{2}P} }{\mathrm {M} ^{2}c^{2}}}=\mathrm {T} ,\quad {\frac {2\mathrm {K^{2}N} }{\mathrm {M} ^{2}c^{2}}}=\mathrm {V} ,$

et les équations du § X deviendront celles-ci

${\begin{aligned}ds=&\mathrm {R} \mathrm {\left[1-T(1-\cos \varphi )-V\sin \varphi \right]} d\varphi ,\\dy=&\mathrm {R} \mathrm {\left[1-T(1-\cos \varphi )-V\sin \varphi \right]} \sin \varphi d\varphi ,\\dx=&\mathrm {R} \mathrm {\left[1-T(1-\cos \varphi )-V\sin \varphi \right]} \cos \varphi d\varphi ,\end{aligned}}$