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mené par le point $\mathrm {L}$ la droite $\mathrm {NLM}$ perpendiculaire à $\mathrm {AD} ,$ et tiré par $\mathrm {N}$ les droites $\mathrm {NF}$ et $\mathrm {NC} ,$ on considérera que par la nature de l’ellipse l’aire elliptique $\mathrm {DFL}$ a à l’aire $\mathrm {DFN}$ la même proportion que l’aire entière de l’ellipse a à l’aire entière du cercle, laquelle est ${\frac {a^{2}\varpi }{2}},$ de sorte qu’on aura aussi

$\varpi :t={\frac {a^{2}\varpi }{2}}:\mathrm {DFN} ,$

et par conséquent

$t={\frac {2\mathrm {DFN} }{a^{2}}}.$

Or, nommant $x$ l’angle $\mathrm {DCN}$ qu’on appelle, d’après Képler, l’anomalie de l’excentrique, on aura

$\mathrm {CM} =a\cos x,\quad \mathrm {MN} =a\sin x,\quad {\text{et}}\quad \mathrm {ML} =ma\sin x\,;$

donc

$\mathrm {DFN=DCN+FCN=DCN+{\frac {FC\times MN}{2}}} ={\frac {a^{2}x}{2}}+{\frac {na^{2}\sin x}{2}},$

donc

$t=x+n\sin x.$

Maintenant on aura

$\mathrm {FL} =ar=\mathrm {\sqrt {{\overline {FM}}^{2}+{\overline {ML}}^{2}}} =a{\sqrt {(a+\cos x)^{2}+m^{2}\sin ^{2}x}},$

et, à cause de $m^{2}=1-n^{2},$

$ar=a{\sqrt {1+2n\cos x+n^{2}\cos ^{2}x}}=a(1+n\cos x)\,;$

donc

$r=1+n\cos x.$

De là on aura

${\begin{aligned}\sin u=&\mathrm {\frac {ML}{LF}} ={\frac {m\sin x}{1+n\cos x}},\\\\\cos u=&\mathrm {\frac {FM}{LF}} ={\frac {n+\cos x}{1+n\cos x}},\end{aligned}}$

donc

${\frac {\sin u}{1+\cos u}}={\frac {m}{1+m}}{\frac {\sin x}{1+\cos x}},$

ou bien

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u={\frac {m}{1+m}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}x.$