mené par le point
la droite
perpendiculaire à
et tiré par
les droites
et
on considérera que par la nature de l’ellipse l’aire elliptique
a à l’aire
la même proportion que l’aire entière de l’ellipse a à l’aire entière du cercle, laquelle est
de sorte qu’on aura aussi
![{\displaystyle \varpi :t={\frac {a^{2}\varpi }{2}}:\mathrm {DFN} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c093ea322a5612142a1bf0665295e4c996722823)
et par conséquent
![{\displaystyle t={\frac {2\mathrm {DFN} }{a^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84a39f28a593a3583f4aad8ef64a1672f95e54d0)
Or, nommant
l’angle
qu’on appelle, d’après Képler, l’anomalie de l’excentrique, on aura
![{\displaystyle \mathrm {CM} =a\cos x,\quad \mathrm {MN} =a\sin x,\quad {\text{et}}\quad \mathrm {ML} =ma\sin x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2637a8e506f65edd7915a43600c4ff388e62883)
donc
![{\displaystyle \mathrm {DFN=DCN+FCN=DCN+{\frac {FC\times MN}{2}}} ={\frac {a^{2}x}{2}}+{\frac {na^{2}\sin x}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b571ca35867c041d443656894aec535808c0d5)
donc
![{\displaystyle t=x+n\sin x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d03dde71221bcd828a23d6eb0a888bc5bba42ec9)
Maintenant on aura
![{\displaystyle \mathrm {FL} =ar=\mathrm {\sqrt {{\overline {FM}}^{2}+{\overline {ML}}^{2}}} =a{\sqrt {(a+\cos x)^{2}+m^{2}\sin ^{2}x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7d32371ad35b0a163df54b529adb05c497199ca)
et, à cause de ![{\displaystyle m^{2}=1-n^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72654b8542ae9ef35e829bd9d2e6c1bf10176dbf)
![{\displaystyle ar=a{\sqrt {1+2n\cos x+n^{2}\cos ^{2}x}}=a(1+n\cos x)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d0d4d185d1cd28ea1d2f5cec4707e8440e4b8d)
donc
![{\displaystyle r=1+n\cos x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5775eabf1f75cf4ebbdaa4c8327e1fa863276e4e)
De là on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin u=&\mathrm {\frac {ML}{LF}} ={\frac {m\sin x}{1+n\cos x}},\\\\\cos u=&\mathrm {\frac {FM}{LF}} ={\frac {n+\cos x}{1+n\cos x}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb026a07e507fdff1cf35b9f97bf095857726b12)
donc
![{\displaystyle {\frac {\sin u}{1+\cos u}}={\frac {m}{1+m}}{\frac {\sin x}{1+\cos x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4894b89344448e57b974599a2d34144a493c8ee7)
ou bien
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u={\frac {m}{1+m}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2aeccab4bd2084a53ad7504e3892d6ae02f8b0d)