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on trouvera

$\psi (x)=\psi (t)-\varphi (t)\psi '(t)+{\frac {1}{2}}{\frac {d[\varphi (t)]^{2}\psi '(t)}{dt}}-{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}[\varphi (t)]^{3}\psi '(t)}{dt^{2}}}+\ldots .$

Ainsi, faisant $\varphi (x)=n\sin x,$ notre équation

$t=x+n\sin x$

donnera sur-le-champ

$\psi (x)=\psi (t)-n\sin t\psi '(t)+{\frac {n^{2}}{2}}{\frac {d\sin ^{2}t\psi '(t)}{dt}}-{\frac {n^{3}}{2.3}}{\frac {d^{2}\sin ^{3}t\psi '(t)}{dt^{2}}}+\ldots ,$

de sorte qu’il n’y aura plus qu’à exécuter les différentiations indiquées en prenant $dt$ constant.

III.

Supposons premièrement $\psi (x)=x$ pour avoir la valeur de $x$ en $t,$ et l’on aura $\psi (t)=t,\ \psi '(t)=1,$ et par conséquent

$x=t-n\sin t+{\frac {n^{2}}{2}}{\frac {d\sin ^{2}t}{dt}}-{\frac {n^{3}}{2.3}}{\frac {d^{2}\sin ^{3}t}{dt^{2}}}+\ldots .$

Pour pouvoir trouver facilement les valeurs des différentielles des puissances de $\sin t,$ il sera à propos de réduire ces puissances en simples sinus ou cosinus d’angles multiples de $t.$ Or on sait que

${\begin{aligned}2\sin ^{2}t&={\frac {2}{2}}-\cos 2t,\\4\sin ^{3}t&=3\sin t-\sin 3t,\\8\sin ^{4}t&={\frac {4.3}{2.2}}-4\cos 2t+\cos 4t,\\16\sin ^{5}t&={\frac {5.4}{2}}\sin t-5\sin 3t+\sin 5t,\\32\sin ^{6}t&={\frac {6.5.4}{2.2.3}}-{\frac {6.5}{2}}\cos 2t+6\cos 4t-\cos 6t,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, substituant ces valeurs dans la formule précédente et faisant les