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or

${\frac {1}{1+n\cos t}}=1-n\cos t+n^{2}\cos ^{2}t-n^{3}\cos ^{3}t+n^{4}\cos ^{4}t-\ldots \,;$

donc, substituant ces valeurs dans la formule de l’Article II, et ordonnant les termes par rapport à $n,$ on aura

$u=m\left\{t-n\left(\int \cos tdt+\sin t\right)\right.$

${\begin{aligned}&+n^{2}\left(\int \cos ^{2}tdt+\cos t\sin t+{\frac {1}{2}}{\frac {d\sin ^{2}t}{dt}}\right)\\&-n^{3}\left[\int \cos ^{3}tdt+\cos ^{2}t\sin t+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\cos t\sin ^{2}t\right)}{dt}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\sin ^{3}t}{dt^{2}}}\right]\\&+n^{4}\left[\int \cos ^{4}tdt+\cos ^{3}t\sin t+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\cos ^{2}t\sin ^{2}t\right)}{dt}}\right.\\\end{aligned}}$

$+\left.{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left(\cos t\sin ^{3}t\right)}{dt^{2}}}\left.+{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{3}\sin ^{4}t}{dt^{3}}}\right]+\ldots \right\},$

et il ne s’agira plus que d’exécuter les intégrations et les différentiations indiquées, ce qui sera facile dès qu’on aura réduit les produits des sinus et cosinus de $t$ à des sinus et cosinus d’angles multiples de $t.$

Mais, pour rendre le calcul plus simple, il est bon de faire en sorte que l’expression de $u$ ne contienne, que des puissances de $\sin t\,;$ c’est pourquoi on changera la quantité ${\frac {1}{1+n\cos t}}$ en celle-ci (Article I)

${\frac {1-n\cos t}{1-n^{2}\cos t}}={\frac {1-n\cos t}{1-n^{2}+n^{2}\sin t}}={\frac {1-n\cos t}{m^{2}+n^{2}\sin ^{2}t}},$

laquelle, étant ensuite réduite en série, donnera

${\begin{aligned}{\frac {1}{1+n\cos t}}=&{\frac {1}{m^{2}}}-{\frac {n\cos t}{m^{2}}}-{\frac {n^{2}\sin ^{2}t}{m^{4}}}+{\frac {n^{3}\sin ^{2}t\cos t}{m^{4}}}\\&+{\frac {n^{4}\sin ^{4}t}{m^{6}}}-{\frac {n^{5}\sin ^{4}t\cos t}{m^{6}}}-{\frac {n^{6}\sin ^{6}t}{m^{8}}}+\ldots ,\end{aligned}}$