or
![{\displaystyle {\frac {1}{1+n\cos t}}=1-n\cos t+n^{2}\cos ^{2}t-n^{3}\cos ^{3}t+n^{4}\cos ^{4}t-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d1a8b0c5db344d29d363600864e2077129c3ea)
donc, substituant ces valeurs dans la formule de l’Article II, et ordonnant les termes par rapport à
on aura
![{\displaystyle u=m\left\{t-n\left(\int \cos tdt+\sin t\right)\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7151da7125d97c24a75b850addc54fd7be6ae748)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+n^{2}\left(\int \cos ^{2}tdt+\cos t\sin t+{\frac {1}{2}}{\frac {d\sin ^{2}t}{dt}}\right)\\&-n^{3}\left[\int \cos ^{3}tdt+\cos ^{2}t\sin t+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\cos t\sin ^{2}t\right)}{dt}}+{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\sin ^{3}t}{dt^{2}}}\right]\\&+n^{4}\left[\int \cos ^{4}tdt+\cos ^{3}t\sin t+{\frac {1}{2}}{\frac {d\left(\cos ^{2}t\sin ^{2}t\right)}{dt}}\right.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f69b7d809d8321d84d65b39c5eb76eccbab6eda)
![{\displaystyle +\left.{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{2}\left(\cos t\sin ^{3}t\right)}{dt^{2}}}\left.+{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{3}\sin ^{4}t}{dt^{3}}}\right]+\ldots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e97afeec76f3b5d35812b7cc0ad3b3550924450)
et il ne s’agira plus que d’exécuter les intégrations et les différentiations indiquées, ce qui sera facile dès qu’on aura réduit les produits des sinus et cosinus de
à des sinus et cosinus d’angles multiples de ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
Mais, pour rendre le calcul plus simple, il est bon de faire en sorte que l’expression de
ne contienne, que des puissances de
c’est pourquoi on changera la quantité
en celle-ci (Article I)
![{\displaystyle {\frac {1-n\cos t}{1-n^{2}\cos t}}={\frac {1-n\cos t}{1-n^{2}+n^{2}\sin t}}={\frac {1-n\cos t}{m^{2}+n^{2}\sin ^{2}t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b1d01d4e70a09bd0c7c627f84e7cb5b5bb48f0)
laquelle, étant ensuite réduite en série, donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{1+n\cos t}}=&{\frac {1}{m^{2}}}-{\frac {n\cos t}{m^{2}}}-{\frac {n^{2}\sin ^{2}t}{m^{4}}}+{\frac {n^{3}\sin ^{2}t\cos t}{m^{4}}}\\&+{\frac {n^{4}\sin ^{4}t}{m^{6}}}-{\frac {n^{5}\sin ^{4}t\cos t}{m^{6}}}-{\frac {n^{6}\sin ^{6}t}{m^{8}}}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/420ff006ab542fc7e0acbdcee6dff562f6f179c0)