équation par laquelle on pourra déterminer commodément
en
Or il est facile de voir, par la nature de la quantité
que la valeur de
développée suivant les puissances de
sera de cette forme
![{\displaystyle y=\mathrm {A} z^{r}+n^{2}\mathrm {B} z^{r+2}+n^{4}\mathrm {C} z^{r+4}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/938ebc65fbd450adb68e261cc9758945035a6e81)
où le premier coefficient
sera
Substituant donc cette série à la place de
, et égalant à zéro les termes homogènes, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}r(r+1)\mathrm {A} +\left[r^{2}-(r+2)^{2}\right]\mathrm {B} &=0,\\(r+2)(r+3)\mathrm {B} +\left[r^{2}-(r+4)^{2}\right]\mathrm {C} &=0,\\(r+4)(r+5)\mathrm {C} +\left[r^{2}-(r+6)^{2}\right]\mathrm {D} &=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/922e544b949f54352383d28295134ea0d5466485)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} =&{\frac {r(r+1)\mathrm {A} }{4(r+1)}},\\\mathrm {C} =&{\frac {(r+2)(r+3)\mathrm {B} }{4.2.(r+2)}},\\\mathrm {D} =&{\frac {(r+4)(r+5)\mathrm {C} }{4.3.(r+3)}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4ad10b968f51a5ad1ecde6323110ef570998ba0)
et par conséquent, à cause de ![{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {1}{2^{r}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/299f299fa1cde356f9a7d31dd7a46be62d34e94b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&{\frac {1}{2^{r}}},\\\mathrm {B} =&{\frac {r}{2^{r+2}}},\\\mathrm {C} =&{\frac {r(r+3)}{2.2^{r+4}}},\\\mathrm {D} =&{\frac {r(r+4)(r+5)}{2.3.2^{r+6}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3138ebe53840f00bc39611091d521b0cac9109e)
Donc
![{\displaystyle \mathrm {Z} ^{r}={\frac {1}{2^{r}}}\left[z^{r}+r\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}z^{r+2}+{\frac {r(r+3)}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}z^{r+4}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4490d9224e99eb706bdce2eee47b5d959e756f4)
![{\displaystyle \left.+{\frac {r(r+4)(r+5)}{2.3}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{6}z^{r+6}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddbd71215a708ee046181b37510b0573b20299a9)