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ou bien

${\begin{aligned}r=&\mathrm {B} +2\left({\frac {n}{2}}\right)\mathrm {B} '\cos t-2\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}\mathrm {B} ''\cos 2t\\&+2\left({\frac {n}{2}}\right)^{3}\mathrm {B} '''\cos 3t-2\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\cos 4t+\ldots ,\end{aligned}}$

dans laquelle on aura les valeurs suivantes des coefficients

${\begin{aligned}\mathrm {B} \ \ \ &=1\ +2\left({\frac {n}{2}}\right)^{2},\\\mathrm {B} '\ \ &=1\ -3\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}{\frac {1}{2}}+{\frac {4.5}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}{\frac {1}{2.3.4}}-\ldots ,\\\mathrm {B} ''\ &=1\ -4\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}{\frac {2^{2}}{2.3}}+{\frac {5.6}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}{\frac {2^{4}}{2.3.4.5}}-\ldots ,\\\mathrm {B} '''&={\frac {3}{2}}-5\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}{\frac {3^{3}}{2.3.4}}+{\frac {6.7}{2}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{4}{\frac {3^{5}}{2.3.4.5.6}}-\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

ou bien, en faisant ${\frac {n}{2}}=\nu ,$

${\begin{aligned}\mathrm {B} \ \ \ &=1+2\nu ^{2},\\\mathrm {B} '\ \ &=1-{\frac {3\nu ^{2}}{2}}+{\frac {5\nu ^{4}}{2^{2}.3}}-{\frac {7\nu ^{6}}{2^{2}.3^{2}.4}}+\ldots ,\\\mathrm {B} ''\ &=1-{\frac {4.2^{2}.\nu ^{2}}{2.3}}+{\frac {6.2^{4}.\nu ^{4}}{2^{2}.3}}-{\frac {8.2^{6}.\nu ^{6}}{2^{2}.3^{2}.4.5}}+\ldots ,\\\mathrm {B} '''&={\frac {3}{2}}-{\frac {5.3^{3}.\nu ^{2}}{2.3.4}}+{\frac {7.3^{5}.\nu ^{4}}{2^{2}.3.4.5}}-{\frac {9.3^{7}.\nu ^{6}}{2^{2}.3^{2}.4.5.6}}+\ldots ,\\\mathrm {B} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&={\frac {4^{2}}{2.3}}-{\frac {6.4^{4}.\nu ^{2}}{2.3.4.5}}+{\frac {8.4^{6}.\nu ^{4}}{2^{2}.3.4.5.6}}-{\frac {10.4^{8}.\nu ^{6}}{2^{2}.3^{2}.4.5.6.7}}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

XII.

Voyons maintenant comment on pourra trouver, par la même méthode, la valeur de l’angle $u$ de l’anomalie vraie ; pour cela il faudra faire, comme dans l’Article VI,

$\psi (t)=m\int {\frac {dt}{1+n\cos t}}\quad {\text{et}}\quad \psi '(t)={\frac {m}{1+n\cos t}},$