![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {K} '''=&{\frac {\mathrm {P} '''}{(1+m)^{3}}}+\left[1-{\frac {n^{2}}{(1+m)^{2}}}\right]{\frac {\mathrm {Q} '''}{2(1+m)^{2}}}+\left[1+{\frac {n^{4}}{(1+m)^{4}}}\right]{\frac {\mathrm {R} '''}{2^{2}(1+m)}}\\&+\left[1-{\frac {n^{6}}{(1+m)^{6}}}\right]{\frac {\mathrm {S} '''}{2^{3}}}+n^{2}\left[1+{\frac {n^{6}}{(1+m)^{6}}}\right]{\frac {\mathrm {T} '''}{2^{4}(1+m)}}\\&+n^{4}\left[1-{\frac {n^{6}}{(1+m)^{6}}}\right]{\frac {\mathrm {V} '''}{2^{5}(1+m)^{2}}}+n^{6}\left[1+{\frac {n^{6}}{(1+m)^{6}}}\right]{\frac {\mathrm {X} '''}{2^{6}(1+m)^{3}}}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/061e5d7b474ffbf191ff105906b977ab1aba4f67)
XIII.
Les valeurs des coefficients 
dépendent, comme on voit, de l’excentricité 
et du rapport 
du grand axe au petit axe de l’ellipse ; or, si l’on suppose l’excentricité fort petite, ce qui est nécessaire pour que les séries soient convergentes, et qu’on veuille que les valeurs des coefficients soient exprimées par des séries ordonnées suivant les puissances de 
il faudra mettre à la place de 
sa valeur 
et développer ensuite ce radical suivant les méthodes ordinaires ; donc, comme les expressions des coefficients dont il s’agit ne renferment d’autres fonctions de que les puissances de 
il est bon de voir comment il faut s’y prendre pour réduire facilement en série chacune des puissances de
Qu’on demande donc, en général, la valeur de
;
il est facile de voir que cette valeur sera la même que celle de 
que nous avons donnée dans l’Article IX, en y faisant seulement 
ce qui rend
ainsi l’on aura sur-le-champ
![{\displaystyle \left.+{\frac {r(r+5)(r+6)(r+7)}{2.3.4}}\left({\frac {n}{2}}\right)^{8}+\ldots \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e97633a7ee5ec8e59b1a19835993307357ae0102)
