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où $p$ est la force retardatrice le long de l’arc $x,$ force qu’il suppose être la somme de deux fonctions, l’une de $x$ et l’autre de $u,$ en sorte que l’on ait ${\frac {d^{2}p}{dxdu}}=0,$ et $\alpha$ est une fonction de dimension nulle de $x$ et de $a,$ laquelle doit être égale à zéro lorsque $x=0,$ et égale à $1$ lorsque $x=a$ (p. 466).

22. Je remarquerai d’abord que la supposition que $\alpha$ soit une fonction de dimension nulle de $x$ et $a$ est trop limitée ; aussi M. Fontaine s’en écarte-t-il dans le premier exemple qu’il donne et où il trouve

$\alpha ={\frac {e^{-hx}-1}{e^{-h\alpha }-1}},$

qui n’est pas, comme on voit, une fonction de dimension nulle de $x$ et de $a.$ Cette méprise n’influe à la vérité en rien sur sa solution, mais elle peut servir, ce me semble, à inspirer au lecteur quelque défiance sur l’exactitude de ses calculs.

23. Considérons maintenant les deux équations de M. Fontaine. Il est clair que la première est la même que l’équation que nous avons désignée par (F) dans le n^o 9, en y mettant $\alpha$ à la place de $\mathrm {X} ,$ de sorte que cette équation de M. Fontaine n’est autre chose que l’équation de condition nécessaire pour que l’équation différentielle

${\frac {udu+pdx}{p\alpha +u^{2}{\cfrac {d\alpha }{dx}}}}+da=0$

soit possible ; et c’est ce qu’on peut aisément vérifier par le calcul (n^os 4 et suivants).

Or nous avons vu dans le Problème II que la condition du tautochronisme n’exige autre chose sinon que l’équation dont il s’agit soit possible en prenant pour $\mathrm {X}$ ou $\alpha$ une fonction quelconque de $x$ et de $a$ telle qu’elle soit nulle lorsque $x=0,$ et égale à $-1$ lorsque $x=a.$ Ainsi la première équation de M. Fontaine suffit pour la solution du Problème, et il n’est nullement nécessaire, comme cet Auteur le prétend (p. 467), d’en chercher encore une autre.