Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/210

donc il faudra que les six valeurs dont il s’agit se réduisent à trois, dont chacune soit double. C’est aussi de quoi on peut se convaincre par le calcul, en éliminant $y$ des deux équations

$y^{6}+py^{3}-{\frac {n^{3}}{27}}=0,\quad x=y-{\frac {n}{3y}}.$

Supposons, pour plus de généralité,

$x=y-{\frac {k}{y}}\quad {\text{ou bien}}\quad y^{2}-xy-k=0,$

on aura donc

$y^{2}=xy+k,$

et de là

${\begin{aligned}y^{3}=&xy^{2}+ky=y\left(x^{2}+k\right)+kx,\\y^{6}=&y^{2}\left(x^{2}a+k\right)^{2}+2kx\left(x^{2}+k\right)y+k^{2}x^{2},\\=&yx\left(x^{2}+k\right)\left(x^{2}+3k\right)+kx^{4}+3k^{2}x^{2}+k^{3}.\end{aligned}}$

Substituant donc ces valeurs de $y^{3}$ et $y^{6},$ on aura

$y\left(x^{2}+k\right)\left(x^{3}+3kx+p\right)+kx\left(x^{3}+3kx+p\right)+k^{3}-{\frac {n^{3}}{27}}=0.$

Soit, pour abréger,

${\frac {n^{3}}{27}}-k^{3}=h\quad {\text{et}}\quad x^{3}+3kx+p=\mathrm {X} ,$

on aura

$\left[y\left(x^{2}+k\right)+kx\right]\mathrm {X} -h=0,$

d’où

$y={\frac {{\dfrac {h}{\mathrm {X} }}-kx}{x^{2}+k}},$

de sorte qu’en substituant maintenant cette valeur de $y$ dans l’équation

$y^{2}-xy-k=0,$

on aura

$\left({\frac {h}{\mathrm {X} }}-kx\right)^{2}-x\left({\frac {h}{\mathrm {X} }}-kx\right)\left(x^{2}+k\right)-k\left(x^{2}+k\right)^{2}=0,$