ainsi que l’Auteur le fait : car, pour que cela fût permis, il faudrait que cette équation renfermât deux des racines de la proposée, et par conséquent que fût la somme de ces deux racines ; or, comme il n’y a pas plus de raison pour que soit la somme de deux quelconques des trois racines de la proposée que de deux autres quelconques, il s’ensuit que devrait avoir autant de valeurs différentes qu’il y a de manières de prendre les trois racines deux à deux, c’est-à-dire trois valeurs, à cause que le nombre des combinaisons de trois choses prises deux à deux est au lieu que nous avons vu que la quantité n’a que deux valeurs, puisqu’elle ne dépend que d’une équation du second degré.
L’esprit de la méthode que nous examinons consiste à faire en sorte que l’équation supposée ait une racine commune avec la proposée ; ainsi, quand on a déterminé les valeurs de et en sorte que cette condition ait lieu, il faut prendre pour la valeur de celle des racines de l’équation
qui sera commune à l’équation proposée
pour cela il n’y aura qu’à chercher le plus grand diviseur commun de ces deux équations, et ce diviseur, où sera nécessairement linéaire, donnera une valeur de qui sera aussi une des racines de la proposée ; or il est facile de comprendre que cette valeur de ne peut être que celle que nous avons trouvée en éliminant successivement les puissances plus hautes de des deux équations données.
En effet, la méthode ordinaire d’élimination, suivant laquelle on fait disparaître successivement les plus hautes puissances de l’inconnue en déduisant, des deux équations données où la même inconnue se trouve élevée à des puissances quelconques, une suite d’autres équations où le plus haut degré de l’inconnue est successivement moindre, jusqu’à ce qu’on arrive à une équation où l’inconnue ne se trouve plus, et qui est le résultat de l’élimination ; cette méthode, dis-je, revient dans le fond à la
