il n’y aura qu’à écrire
à la place de
or l’équation
![{\displaystyle y^{m}+ay^{m-1}+\ldots +py^{2}+qy+r=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f355eb2380e958e0e003984c024db07617b90a51)
est celle qui résulte de l’élimination de
dans les deux équations
et
(hypothèse) ; par conséquent, en y faisant
l’équation
sera celle qui résultera de l’élimination de
dans les équations
et
donc, ayantl’équation
il n’yauraqu’\delta ysubstituer
à la place de
pour avoir immédiatementl’équation
![{\displaystyle y^{m}+ay^{m-1}+\ldots +py^{2}+qy+r=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f355eb2380e958e0e003984c024db07617b90a51)
mais on sait que si
est une fonction de
et qu’on veuille y substituer
à la place de
on aura, en employantles différentiations, la transformée
![{\displaystyle r-{\frac {dr}{d\rho }}y+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}r}{d\rho ^{2}}}y^{2}-{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}r}{d\rho ^{3}}}y^{3}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7669a92cf1089b8bf13fc2ea1b666af1ce4e7a9)
donc on aura, par la comparaison des termes,
![{\displaystyle q=-{\frac {dr}{d\rho }},\quad p={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}r}{d\rho ^{2}}},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebc6defe7e4b57c2b60d83808699d6a59f677584)
d’où je tire cette conclusion, que si
![{\displaystyle r=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/894a83e863728b4ee2e12f3a999a09f5f2bf1c89)
est la condition nécessaire pour que les équations
et
aient une racine commune, on aura, pour les conditions de deux racines communes,
![{\displaystyle r=0\quad {\text{et}}\quad {\frac {dr}{d\rho }}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c438bd77075c893ca99c85fc31bf00694b92ed6)
pour trois racines communes,
![{\displaystyle r=0\quad {\frac {dr}{d\rho }}=0\quad {\text{et}}\quad {\frac {d^{2}r}{d\rho ^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d0d7b3a830d1d1b8f7f3663b4ce64c771469b54)
et ainsi de suite,
étant le dernier terme de l’une des équations proposées.