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thode, il n’y a qu’à éliminer y parle moyen des deux équations

$x=a+by+cy^{2}\quad {\text{et}}\quad y^{3}+h=0,$

ce qui donnera nécessairement une équation en $x$ du troisième degré, comme on peut s’en assurer par la théorie de l’élimination que nous avons donnée plus haut ; cette équation étant ensuite comparée terme à terme avec la proposée donnera trois équations par lesquelles on pourra déterminer trois des quatre indéterminées $a,b,c,h,$ la quatrième pouvant être prise à volonté. M. Bezout fait d’abord, pour plus de simplicité, $h=-1\,;$ mais M. Euler conserve dans le calcul toutes les indéterminées, et il prend ensuite égale à l’unité celle qui lui paraît devoir donner un résultat plus simple ; c’est toute la différence qui se trouve entre les procédés de ces deux Auteurs.

19. Pour apprécier cette méthode à priori, nous allons chercher d’après nos principes la forme et le degré des équations finales qui serviront à la détermination des coefficients $a,b,\ldots \,;$ et comme l’équation $y^{3}+h=0$ donne les trois racines $-{\sqrt[{3}]{h}},-\alpha {\sqrt[{3}]{h}},-\alpha ^{2}{\sqrt[{3}]{h}},$ il est clair qu’on aura sur-le-champ les trois équations

${\begin{aligned}x'\ \ =&a-\quad b{\sqrt[{3}]{h}}+\quad \,c{\sqrt[{3}]{h^{2}}},\\x''\ =&a-\alpha \ \,b{\sqrt[{3}]{h}}+\alpha ^{2}c{\sqrt[{3}]{h^{2}}},\\x'''=&a-\alpha ^{2}b{\sqrt[{3}]{h}}+\alpha \ \,c{\sqrt[{3}]{h^{2}}},\end{aligned}}$

qui étant ajoutées ensemble donneront d’abord

$a=x'+x''+x'''=-m\,;$

ensuite, multipliant la seconde par $\alpha ^{2},$ la troisième par $\alpha$ et les ajoutant toutes trois, on aura

$x'+\alpha ^{2}x''+\alpha x'''=-3b{\sqrt[{3}]{h}}\,;$

enfin, multipliant la seconde par $\alpha ,$ la troisième par $\alpha ^{2}$ et les ajoutant de même, on aura

$x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''=3c{\sqrt[{3}]{h}}.$