Ainsi l’on aura et
![{\displaystyle \alpha ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}\quad {\text{et}}\quad \beta ={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25fe281c2bb6536df36716248387f219c1b57d66)
et il est facile de se convaincre que est en effet égal à
comme nous l’avons déjà trouvé à priori ; car faisant le carré de
on a
![{\displaystyle {\frac {1-2{\sqrt {-3}}-3}{4}}=={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}=\beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25fe37264b748d41b0c8fb16e3d8f80448d7f36d)
En général, soit l’équation à deux termes
![{\displaystyle x^{n}-1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2336b7bc7435624aaec53f2216bc42f589220f7)
on remarquera d’abord que si
est un nombre composé, en sorte que
la résolution de cette équation se réduira toujours à celle de deux équations semblables, l’une du degré
et l’autre du degré
Car, faisant
on aura
et par conséquent
![{\displaystyle y^{p}-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc86577369ed0a5e924acb3a6c18edd5aaa26ef)
Supposons donc qu’on ait résolu cette équation du degré
et que
soit une des racines, on aura ensuite
![{\displaystyle x^{q}-\alpha =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/881537131b3e3aa0219b4c99fef0488451064b20)
ou bien, faisant ![{\displaystyle x=t{\sqrt[{q}]{\alpha }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8345ea79e74debdf99773582d722a42fdac763c0)
![{\displaystyle t^{q}-1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab432573ab1340c521f8036190afde879e2ea5d)
et cette nouvelle équation étant résolue, on aura la valeur de
et par conséquent celle de ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
De là on voit que la difficulté de résoudre l’équation
lorsque
est un nombre composé, se réduit à résoudre autant de pareilles équations que
a de facteurs simples, et dont les degrés soient ces mêmes facteurs de
Ainsi toute la difficulté consiste à résoudre l’équation
lorsque
est un nombre premier.
Considérons, en général, le cas où
est impair, en sorte que l’équation à résoudre soit
![{\displaystyle x^{2p+1}-1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34dca214810a6e74fabee76bad6e7aeac124400e)