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ce produit étant égalé à zéro. Faisons, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&\mathrm {X} +h\left[\left(n-{\frac {m^{2}}{4}}\right)x^{2}-{\frac {q}{k}}\right],\\\mathrm {B} =&-2hx^{2},\\\mathrm {C} =&{\frac {h}{k}},\end{aligned}}$

et, supposant

${\begin{aligned}\alpha =&y'+y''+y''',\\\beta =&y'y''+y'y'''+y''y''',\\\gamma =&y'^{2}+y''^{2}+y'''^{2},\\\delta =&y'y''y''',\\\varepsilon =&y'^{2}y''^{2}+y'^{2}y'''^{2}+y''^{2}y'''^{2},\end{aligned}}$

on trouvera, pour le produit dont il s’agit,

$\mathrm {A^{3}+A^{2}B\alpha +A^{2}C\gamma +AB^{2}\beta +ABC(\alpha \beta -3\delta )}$

$+\mathrm {AC^{2}\varepsilon +B^{3}\delta +B^{2}C\alpha \delta +BC^{2}\beta \delta +C^{3}\delta ^{2}} .$

Mais faisant encore, pour abréger,

$a={\frac {n}{2}},\quad b={\frac {mp-4q}{4}},\quad c={\frac {p^{2}-\left(4n-m^{2}\right)q}{8}},$

en sorte que l’équation en $y$ soit représentée par

$y^{3}-ay^{2}+by-c=0,$

on aura, comme on sait, par la nature des équations,

$\alpha =a,\quad \beta =b,\quad \delta =c,$

et de là

$\gamma =a^{2}-2b,\quad \varepsilon =b^{2}-2ac.$

Donc l’équation cherchée, résultant de l’élimination de $y$ dans ces deux-ci

${\begin{aligned}&\mathrm {A+B} y+\mathrm {C} y^{2}=0,\\&y^{3}-ay^{2}+by-c=0,\end{aligned}}$

sera

${\begin{aligned}\mathrm {A} ^{3}+&a\mathrm {A^{2}B} +\left(a^{2}-2b\right)\mathrm {A^{2}C} +b\mathrm {AB^{2}} +(ab-3c)\mathrm {ABC} \\&+\left(b^{2}-2ac\right)\mathrm {AC} ^{2}+c\mathrm {B} ^{3}+ac\mathrm {B^{2}C} +bc\mathrm {BC} ^{2}+c^{2}\mathrm {C} ^{3}=0.\end{aligned}}$