31. Voyons maintenant comment, en connaissant une des valeurs de
on pourra trouver les quatre racines
Puisque
![{\displaystyle u=ab+cd\quad {\text{et}}\quad abcd=q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6032a2a08776dc56b0dff286f078af7e466f25e7)
il est clair que les deux quantités
et
seront les racines de cette équation du second degré
![{\displaystyle t^{2}-ut+q=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f3d9e46ada9f6a0397d1c25d90c98b37ae6e9a9)
de sorte qu’en nommant
et
ces deux racines on connaîtra les deux produits
![{\displaystyle ab=t'\quad {\text{et}}\quad cd=t''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/853dfaa99989b68dd647a66082b7de448164a129)
de plus on a
![{\displaystyle -p=ab(c+d)+cd(a+b)=t'(c+d)+t''(a+b),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6bbeebbff046c1fba7dc152f7fc4aacca713df9)
et comme
![{\displaystyle a+b+c+d=-m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0add460474c902e8a573989854746f411907d25)
on aura
![{\displaystyle a+b={\frac {p-mt'}{t'-t''}},\quad c+d={\frac {p-mt''}{t''-t'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d8ab49be0b96dc8bb174089ec3f04ecc5c41941)
donc, puisque
![{\displaystyle ab=t'\quad {\text{et}}\quad cd=t'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b2b23dba3bc56fc5dfd40f576f0675f0dc678f)
il est clair que
et
seront les racines de cette équation du second degré
![{\displaystyle x^{2}-{\frac {p-mt'}{t'-t''}}x+t'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c7d812d7d074c9f5e8da11aab23d0fe4c6bd0b)
et que
et
seront celles de l’équation
![{\displaystyle x^{2}-{\frac {p-mt''}{t''-t'}}x+t''=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dff2149b898769de83c951341243141996c1ecd)
On voit par là qu’il suffit de connaître une des racines de la réduite en
pour avoir les quatre racines
de la proposée, et que chacune des racines de cette réduite donnera toujours les mêmes quatre racines
car si, au lieu de prendre
on eût pris
ou
il n’y eût eu d’autre changement dans nos formules sinon que
eût été changé en
ou en
et vice versâ.