On aura donc
![{\displaystyle x={\frac {q-g'\left(n-mf+f^{2}\right)+g'^{2}}{f^{3}-mf^{2}+nf-p+(m-2f)g'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/badc929c7ab3f02d5572378c635b76f4f20a1ec0)
et substituant cette valeur dans
on aura
![{\displaystyle \left[q-g'\left(n-mf+f^{2}\right)+g'^{2}\right]^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a631f1ec67b3e96c33ba5345ebc1ff566abb25f9)
![{\displaystyle +f\left[q-g'\left(n-mf+f^{2}\right)+g'^{2}\right]\left[f^{3}-mf^{2}+nf-p+(m-2f)g'\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8baa0021425aad20b1b4b296f0e4c21043b9fd46)
![{\displaystyle +g'\left[f^{3}-mf^{2}+nf-p+(m-2f)g'\right]^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/329c529668db4434cb16d184b32b54a1b4864654)
où il ne s’agira plus que de remettre
à la place de
et de développer les termes en les ordonnant par rapport à ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
Soient, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} =&f^{3}-mf^{2}+nf-p,\\\mathrm {G} =&f^{2}-mf+n,\\\mathrm {H} =&2f-m,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/070768662f4ace9664e6f2cdcc6ccb3af421d5df)
et l’équation précédente deviendra
![{\displaystyle \left(q-\mathrm {G} g'+g'^{2}\right)^{2}+f\left(q-\mathrm {G} g'+g'^{2}\right)(\mathrm {F-H} g')+g'(\mathrm {F-H} g')^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fbb657e8619dc9ecf238e69e4ef95222cd42b5d)
laquelle étant d’abord ordonnée par rapport à
devient
![{\displaystyle g'^{4}-\left(2\mathrm {G} +f\mathrm {H} -\mathrm {H} ^{2}\right)g'^{3}+\left(\mathrm {G} ^{2}+2q+f\mathrm {F} +f\mathrm {GH} -2\mathrm {FH} \right)g'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c152ced5d83685d0fbbe5873406fd0175c83df)
![{\displaystyle -\left(2q\mathrm {G} +fq\mathrm {H} +f\mathrm {F} \mathrm {G} -\mathrm {F} ^{2}\right)g'+q^{2}+qf\mathrm {F} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd3cbe706498558c9af94bcabed6418c279337e5)
et en remettant les valeurs de ![{\displaystyle \mathrm {F,G,H} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e11b67989d17271b8e68cc8956625c7850f2ad3)
![{\displaystyle g'^{4}-\left(mf+2n-m^{2}\right)g'^{3}+\left[nf^{2}-(mn-3p)f+n^{2}-2mp+2q\right]g'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb719055f9f47cafdc42f52fa19b50d04a155a2)
![{\displaystyle -\left[pf^{3}-(mp-4q)f^{2}+(np-3mq)f-p^{2}+2nq\right]g'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5147478dad596005b0958c9e4d0f46f2f86d8e)
![{\displaystyle +q\left(f^{4}-mf^{3}+nf^{2}-pf+q\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63b6b6a83d9306ba8deb496ac5ccee466f28ac3e)
Faisons maintenant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&mf+2n-m^{2},\\\mathrm {B} =&nf^{2}-(mn-3p)f+n^{2}-2mp+2q,\\\mathrm {C} =&pf^{3}-(mp-4q)f^{2}+(np-3mq)f-p^{2}+2nq,\\\mathrm {D} =&q\left(f^{4}-mf^{3}+nf^{2}-pf+q\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567761a1575823af6b2c3198f424d330f94dcc38)