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nombre les permutations qui ne produiront aucun changement dans l’expression de $f.$

Pour cela je remarque d’abord que si l’on suppose qu’on échange respectivement les racines $x',x'',\ldots x^{(\varpi )}$ en $x^{(\varpi +1)},x^{(\varpi +2)},\ldots ,x^{(2\varpi )},$ ou en $x^{(2\varpi +1)},x^{(2\varpi +2)},\ldots ,x^{(3\varpi )},$ ou, etc., il en résultera dans les équations précédentes les mêmes changements que si l’on échangeait $\zeta '$ en $\zeta '',$ ou en $\zeta ''',$ ou, etc. ; de sorte que les permutations des quantités $\zeta ',\zeta '',\zeta ''',\ldots$ entre elles seront équivalentes aux permutations des racines $x',x^{(\varpi +1)},x^{(2\varpi +1)},\ldots$ entre elles, ces permutations étant combinées avec les permutations correspondanteset simultanées des racines $x'',x^{(\varpi +2)},x^{(2\varpi +2)},\ldots$ entre elles, avec celles des racines $x''',x^{(\varpi +3)},x^{(2\varpi +3)},\ldots$ entre elles, etc.

Or, comme dans la détermination des coefficients $f,g,\ldots$ on doit faire disparaître les quantités $\zeta ',\zeta '',\zeta ''',\ldots$ par l’élimination, il sera indifférent que ces quantités soient mises les unes à la place des autres d’une manière quelconque ; par conséquent il ne résultera de leurs permutations quelconques aucun changement dans les valeurs de $f,g,\ldots \,;$ donc, puisque ces quantités étant au nombre de $\nu$ sont susceptibles de $1.2.3\ldots \nu$ permutations, voilà autant de permutations entre les $\mu$ racines $x',x'',x''',\ldots ,x^{(\mu )}$ qui ne produiront aucun changement dans les valeurs de $f,g,\ldots \,;$ d’où il s’ensuit que, dans le nombre total $1.2.3\ldots \mu$ des valeurs particulières de $f,$ chaque valeur se trouvera répétée $1.2.3\ldots \nu$ fois ; par conséquent il ne pourra y avoir qu’un nombre de valeurs différentes de $f$ exprimé par

${\frac {1.2.3\ldots \mu }{1.2.3\ldots \nu }}.$

63. Maintenant si l’on considère les permutations des racines $x',x'',x''',$$\ldots ,x^{(\varpi )}$ entre elles, et qu’on considère en même temps les premières équations du n^o 62, lesquelles renferment ces racines, on y pourra appliquer des raisonnements analogues à ceux du n^o 55, et l’on en conclura que les échanges de la racine $x'$ en les autres racines $x'',x''',$$\ldots ,x^{(\varpi )}$ ne produiront aucun changement dans les valeurs de $f,g,\ldots ,$ puisque ces échanges donneront les mêmes résultats que l’on aurait en substituant successivement $\alpha \zeta ',\alpha ^{2}\zeta ',\alpha ^{3}\zeta ',\ldots ,\alpha ^{\varpi -1}\zeta '$ à la place de $\zeta '.$