un nombre premier, il est facile de prouver par des raisonnements analogues à celui du no 56, que l’on pourra suppléer aux permutations des racines ![{\displaystyle x',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d157cc2c35e9b7faa3c634b3155e12ef4a9476)
en
en ![{\displaystyle x''',x^{(\varpi +3)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4b163da3c3df0e4616211950230429be5170e5)
en, etc., en substituant successivement dans l’expression de
les puissances
à la place de
de sorte que si l’on met
au lieu de
dans l’expression de
et qu’ensuite on élimine
par le moyen de l’équation
![{\displaystyle {\frac {y^{\varpi }-1}{y-1}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66801b24072a115346e9e5a7f6aa949085faa86e)
ou bien
![{\displaystyle y^{\varpi -1}+y^{\varpi -2}+y^{\varpi -3}+\ldots +1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce9ca2dee022f4190401a541fac2cf464ad6ca32)
on aura une équation en
telle que
![{\displaystyle f^{\varpi -1}+\mathrm {F} f^{\varpi -2}+\mathrm {G} f^{\varpi -3}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23f0684a34937c91827c9f56d3c9a26edd720cc)
laquelle sera un diviseur de la réduite en
et les coefficients
seront déterminés chacun par une équation du degré
![{\displaystyle {\frac {\nu (\nu +1)(\nu +2)\ldots (\mu -1)}{(\varpi -1)\varpi ^{\nu -1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c418f0ec2966608cd3ed8570f7e4c2161975fba5)
ce qui donnera autant de diviseurs de la même réduite, dont chacun sera du degré ![{\displaystyle \varpi -1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83e80c6bdffb479020c374a5658bc0d94dbfb2e8)
Si
n’est pas un nombre premier, alors il faudra chercher, comme dans le no 60, l’équation dont les racines seront les puissances de
qui auront pour exposant des nombres premiers à
en y comprenant l’unité, et, désignant cette équation par
![{\displaystyle y^{\lambda }+\beta y^{\lambda -1}+\ldots +\beta y+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f36a14f66784fa1f532990a64990792930abce42)
on éliminera, par son moyen,
de l’expression de
on aura une équation en
telle que
![{\displaystyle f^{\lambda }+\mathrm {F} \beta f^{\lambda -1}+\mathrm {G} f^{\lambda -2}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/246a1cccdb11a4a5fe1045ef31e207eb15e91ee5)
où chaque coefficient
ne dépendra que d’une équation du degré
![{\displaystyle {\frac {\nu (\nu +1)(\nu +2)\ldots (\mu -1)}{\lambda \varpi ^{\nu -1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7be7c482278879c78d27a0865b3516fe5d057325)
de sorte que l’on aura par là autant de valeurs de
et par consé-