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Donc, si $m=1,$ on aura, en multipliant par ${\frac {a}{b}},$

${\begin{aligned}x=&{\frac {a}{b}}\\&+{\frac {\mathrm {A} }{b}}{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\\&+\left[{\frac {\mathrm {B} }{b}}+{\frac {4\mathrm {B} _{1}}{2b^{2}}}\right]{\frac {a^{3}}{b^{3}}}\\&+\left[{\frac {\mathrm {C} }{b}}+{\frac {5\mathrm {C} _{1}}{2b^{2}}}+{\frac {5.6.\mathrm {C} _{2}}{2.3.b^{3}}}\right]{\frac {a^{4}}{b^{4}}}\\&+\left[{\frac {\mathrm {D} }{b}}+{\frac {6\mathrm {D} _{1}}{2b^{2}}}+{\frac {6.7.\mathrm {D} _{2}}{2.3.b^{3}}}+{\frac {6.7.8.D_{3}}{2.3.4.b^{4}}}\right]{\frac {a^{5}}{b^{5}}}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Et si l’on fait $\psi (y)=\log y,$ on trouvera, à cause de $\log y=0$ lorsque $y=1,$

${\begin{aligned}\log {\frac {bx}{a}}=&{\frac {\mathrm {A} }{b}}{\frac {a}{b}}\\&+\left({\frac {\mathrm {B} }{b}}+{\frac {3\mathrm {B} _{1}}{2b^{2}}}\right){\frac {a^{2}}{b^{2}}}\\&+\left({\frac {\mathrm {C} }{b}}+{\frac {4\mathrm {C} _{1}}{2b^{2}}}+{\frac {4.5.\mathrm {C} _{2}}{2.3.b^{3}}}\right){\frac {a^{3}}{b^{3}}}\\&+\left({\frac {\mathrm {D} }{b}}+{\frac {5\mathrm {D} _{1}}{2b^{2}}}+{\frac {5.6.\mathrm {D} _{2}}{2.3.b^{3}}}+{\frac {5.6.7.D_{3}}{2.3.4.b^{4}}}\right){\frac {a^{4}}{b^{4}}}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Au reste, les valeurs de $x^{m}$ que nous venons de trouver dans ce numéro et dans le précédent sont les mêmes pour le fond que celle que nous avons déjà trouvée plus haut dans l’Exemple IV ; mais ces valeurs, et surtout la dernière, sont mises ici sous une forme plus simple et plus commode, par laquelle on voit clairement la loi de la série, en sorte qu’il est très-aisé d’en calculer les différents termes et de la continuer autant qu’on voudra.

21. Exemple VI. Soit proposée l’équation

$0=\alpha -x+\beta x^{p}+\gamma x^{p+q}+\delta x^{p+2q}+\varepsilon x^{p+3q}+\ldots \,;$