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tions il répondra une valeur différente des quantités $ub,u^{2}c,u^{3}d,\ldots \,;$ mais ces valeurs peuvent avoir entre elles des relations telles, que l’équation dont elles seront les racines puisse s’abaisser à un degré inférieur ; c’est ce que nous allons examiner.

68. Pour cela nous remarquerons d’abord que, comme la quantité $u$ demeure indéterminée, on pourra lui donner telle valeur qu’on voudra ; la supposition la plus simple est de faire, avec M. Bezout, $u=1,$ et par conséquent

$\mathrm {V} =-u^{\mu }=-1\,;$

nous adopterons donc cette hypothèse et nous supposerons en même temps

$k={\frac {a'}{\mu }},\quad h={\frac {a''}{\mu }},\ldots \quad b={\frac {a^{\mu -1}}{\mu }},$

ce qui donnera ces formules plus simples

${\begin{aligned}&a'\ \ =x'+\alpha \ x''\,+\beta \ x'''\,+\gamma \ x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,+\ldots ,\\&a''\ =x'+\alpha ^{2}x''+\beta ^{2}x'''+\gamma ^{2}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,\\&a''\ =x'+\alpha ^{3}x''+\beta ^{3}x'''+\gamma ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&a^{(\mu -1)}=x'+\alpha ^{\mu -1}x''+\beta ^{\mu -1}x'''+\gamma ^{\mu -1}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots .\end{aligned}}$

Considérons l’expression de la quantité $a',$ et comme les racines de l’équation $y^{\mu }-1=0,$ que nous avons désignées par $1,\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ peuvent s’exprimer (24) par $1,\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots ,$ on aura $\beta =\alpha ^{2},\ \gamma =\alpha ^{3},\ldots \,;$ de sorte que l’on aura

$a'=x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\alpha ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots +\alpha ^{\mu -1}x^{(\mu )},$

et pour avoir les valeurs des autres quantités $a'',a''',\ldots ,$ il n’y aura qu’à mettre, dans cette expression de $a',$ à la place de $\alpha ,$ ses puissances $\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots .$ D’où, et de ce qui a été démontré plus haut (56), on peut d’abord conclure que, lorsque l’exposant $\mu$ de l’équation proposée’est un nombre premier, les quantités $a',a'',a''',\ldots$ seront les racines d’une même équa-