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telle que

$f^{2}-\mathrm {M} f+\mathrm {N} =0,$

les deux racines de cette équation seront nécessairementégales chacune à la somme de cinq quelconques des dix quantités précédentes ; et il faudra que ces deux sommes ajoutées ensemble produisent une quantité $\mathrm {M}$ qui ait la propriété de demeurer la même, quelque permutation qu’on fasse entre les racines $x',x'',x''',\ldots \,;$ ce qui ne saurait avoir lieu à moins que les deux sommes dont nous parlons ne renferment toutes les dix quantités en question ; par conséquent, l’une étant la somme de cinq de ces quantités, l’autre devra être nécessairement celle des cinq autres.

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SECTION QUATRIÈME.

conclusion des réflexions précédentes, avec quelques remarques générales sur la transformation des équations, et sur leur réduction ou abaissementa un moindre degré.

86. On a dû voir par l’analyse que nous venons de donner des principales méthodes connues pour la résolution des équations, que ces méthodes se réduisent toutes à un même principe général, savoir à trouver des fonctions des racines de l’équation proposée, lesquelles soient telles : 1^o que l’équation ou les équations par lesquelles elles seront données, c’est-à-dire dont elles seront les racines (équations qu’on nomme communément les réduites), se trouvent d’un degré moindre que celui de la proposée, ou soient au moins décomposables en d’autres équations d’un degré moindre que celui-là ; 2^o que l’on puisse en déduire aisément les valeurs des racines cherchées.

L’art de résoudre les équations consiste donc à découvrir des fonctions des racines, qui aient les propriétés que nous venons d’énoncer ; mais est-il toujours possible de trouver de telles fonctions, pour les équations d’un degré quelconque, c’est-à-dire pour tel nombre de racines qu’on voudra ? C’est sur quoi il paraît très-difficile de pouvoir prononcer en général.