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pour abréger,

${\begin{alignedat}{3}\Theta &={\Bigl [}t-f\left[(x')(x'')(x''')\right]{\Bigr ]}&&\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')(x')(x''')\right]{\Bigr ]}&&\times {\Bigl [}t-f\left[(x''')(x'')(x')\right]{\Bigr ]}\\&\times {\Bigl [}t-f\left[(x')(x''')(x'')\right]{\Bigr ]}&&\times {\Bigl [}t-f\left[(x''')(x')(x'')\right]{\Bigr ]}&&\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')(x''')(x')\right]{\Bigr ]},\\\\\theta \ &={\Bigl [}t-f\left[(x')^{3}\right]{\Bigr ]}&&\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')^{3}\right]{\Bigr ]}&&\times {\Bigl [}t-f\left[(x''')^{3}\right]{\Bigr ]},\\\\\theta _{1}&={\Bigl [}t-f\left[(x')^{2}(x'')\right]{\Bigr ]}&&\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')^{2}(x')\right]{\Bigr ]}&&\times {\Bigl [}t-f\left[(x''')^{2}(x'')\right]{\Bigr ]}\\&\times {\Bigl [}t-f\left[(x')^{2}(x''')\right]{\Bigr ]}&&\times {\Bigl [}t-f\left[(x''')^{2}(x')\right]{\Bigr ]}&&\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')^{2}(x''')\right]{\Bigr ]},\\\\\theta _{2}&={\Bigl [}t-f\left[(x')(x'')^{2}\right]{\Bigr ]}&&\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')(x')^{2}\right]{\Bigr ]}&&\times {\Bigl [}t-f\left[(x''')(x'')^{2}\right]{\Bigr ]}\\&\times {\Bigl [}t-f\left[(x')(x''')^{2}\right]{\Bigr ]}&&\times {\Bigl [}t-f\left[(x''')(x')^{2}\right]{\Bigr ]}&&\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')(x''')^{2}\right]{\Bigr ]},\\\\\theta _{3}&={\Bigl [}t-f\left[(x')(x'')(x')\right]{\Bigr ]}&&\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')(x')(x'')\right]{\Bigr ]}&&\times {\Bigl [}t-f\left[(x''')(x'')(x''')\right]{\Bigr ]}\\&\times {\Bigl [}t-f\left[(x')(x''')(x')\right]{\Bigr ]}&&\times {\Bigl [}t-f\left[(x''')(x')(x''')\right]{\Bigr ]}&&\times {\Bigl [}t-f\left[(x'')(x''')(x'')\right]{\Bigr ]},\\\\\end{alignedat}}$

on aura

$\mathrm {T} =\Theta \theta \theta _{1}\theta _{2}\theta _{3}.$

Maintenantje remarque que, si l’on suppose

$t-f\left[(x)^{3}\right]=0,$

et qu’on élimine $x$ par le moyen de l’équation en $x,$

$x^{3}+mx^{2}+nx+p=0,$

on trouvera, comme dans le numéro précédent, l’équation finale $\theta =0,$ de sorte que $\theta$ sera nécessairement une fonction rationnelle de $t$ et des coefficients $m,n,p.$

On trouvera, par les mêmes principes, que si l’on fait

$t-f\left[(x)^{2}(y)\right]=0,$

et qu’on élimine successivement $x$ et $y$ par le moyen des deux équations en $x$ et en $y,$ savoir

${\begin{aligned}x^{3}+mx^{2}+nx+p=0,\\y^{3}\,+my^{2}+ny+p=0,\end{aligned}}$