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$y^{(\varpi )}$ seront pareillement les racines de l’équation en $y,$ laquelle sera du même degré. On pourra donc trouver ces équations en $t$ et en $y$ par les méthodes exposées plus haut ; mais nous n’aurons besoin que d’avoir l’équation en $t,$ que nous représenterons, en général, par

$1+\mathrm {A} t+\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} t^{3}+\ldots +\mathrm {K} t^{\varpi }=0,$

ou plus simplement par $\theta =0,$ en supposant

$\theta =1+\mathrm {A} t+\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} t^{3}+\ldots +\mathrm {K} t^{\varpi },$

où les coeflïcients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ seront des fonctions connues des coefficients $m,n,p,\ldots$ de l’équation proposée en $x$ dont les racines sont $x',x'',x''',\ldots .$

Cela posé, qu’on considère en général la fonction $t^{\lambda }y,$ il est visible que les différentes valeurs de cette fonction résultantes de toutes les permutations possibles entre les racines $x',x'',x''',\ldots$ seront $t^{'\lambda }y',t^{''\lambda }y'',t^{'''\lambda }y''',$$\ldots ,t^{(\varpi )\lambda }y^{(\varpi )}\,;$ de sorte qu’en prenant la somme de toutes ces valeurs on aura la fonction

$t^{'\lambda }y'+t^{''\lambda }y''+t^{'''\lambda }y'''+\ldots +t^{(\varpi )\lambda }y^{(\varpi )},$

laquelle aura la propriété de demeurer invariable, quelque permutation qu’on y fasse entre les racines $x',x'',x''',\ldots$ et par conséquent pourra s’exprimer algébriquement et rationnellement par les coefficients $m,n,p,\ldots .$ (98).

Qu’on cherche donc les valeurs de cette fonction pour les exposants $\lambda =0,1,2,3,\ldots ,\varpi -1,$ et qu’on les dénote par les quantités ${\rm {M,M_{1},M_{2},}}$${\rm {M_{3},\ldots ,M_{(\varpi -1)},}}$ on aura les $vp$ équations suivantes

$y'+y''+y'''+\ldots +y^{(\varpi )}=\mathrm {M} ,$

${\begin{alignedat}{4}t'\ y'+&t''\ y''&+&t'''\ y'''+&\ldots &+&t^{(\varpi )}\ y^{(\varpi )}=&\mathrm {M} _{1},\\t'^{2}y'+&t''^{2}y''&+&t'''^{2}y'''+&\ldots &+&t^{(\varpi )2}y^{(\varpi )}=&\mathrm {M} _{2},\\t'^{3}y'+&t''^{3}y''&+&t'''^{3}y'''+&\ldots &+&t^{(\varpi )3}y^{(\varpi )}=&\mathrm {M} _{3},\\\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

$t^{'\lambda -1}y'+t^{''\lambda -1}y''+t^{'''\lambda -1}y'''+\ldots +t^{(\varpi )\lambda -1}y^{(\varpi )}=\mathrm {M} _{(\lambda -1)},$