Mais, puisque
![{\displaystyle \theta =\left(1-{\frac {t}{t'}}\right)\left(1-{\frac {t}{t''}}\right)\left(1-{\frac {t}{t'''}}\right)\left(1-{\frac {t}{t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}\right)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9762a3fc49cc37cf8ed29dba534440302f2f59)
![{\displaystyle =\left(1-{\frac {t}{t'}}\right)^{2}\left(1-{\frac {t}{t'''}}\right)^{2}\left(1-{\frac {t}{t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}\right)^{2}\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d18ae3025dbb4d27abcb9414e320c9697f1f53)
il est facile de voir qu’on aura, lorsque ![{\displaystyle t=t',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b55385c188d75483fda153fa9d519a1baa61860b)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}={\frac {1}{t'^{2}}}\left(1-{\frac {t'}{t'''}}\right)\left(1-{\frac {t'}{t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}\right)\ldots =\Pi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c51f5010d21fb1b0793a47294e9228707d0561e)
par conséquent
![{\displaystyle \Pi ={\frac {2\mathrm {B} +2.3\mathrm {C} t'+3.4\mathrm {D} t'^{2}+\ldots }{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32f3b8ca738d50c408ae262452194a1586914940)
Donc
![{\displaystyle {\frac {y'+y''}{2}}={\frac {{\dfrac {\mathrm {P} }{t'^{2}}}+{\dfrac {2\mathrm {Q} }{t'^{3}}}+{\dfrac {3\mathrm {R} }{t'^{4}}}+\ldots }{2\mathrm {B} +2.3\mathrm {C} t'+3.4\mathrm {D} t'^{2}+\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f890ad7ad56c60c6616d3f7c648dc2bc35b5abc1)
Ainsi, dans ce cas la formule ne donnera pas la valeur de chacune des inconnues
qui répondent aux racines égales
mais seulement celle de leur somme
et l’on voit, tant par l’expression précédente que par l’analyse d’où elle résulte, que la valeur de la moitié de cette somme résultera de l’expression générale de
du numéro précédent, en prenant, la place du numérateur et du dénominateur, leurs différentielles divisées par
On trouvera de la même manière que, lorsque la valeur donnée de
sera une racine triple de l’équation
en sorte que l’on ait, par exemple,
alors on ne pourra pas avoir en particulier chacune des fonctions correspondantes
mais seulement leur somme
et l’expression générale de
donnera le tiers de cette somme en prenant, à la place du numérateur et du dénominateur de cette expression leurs différentielles secondes divisées par
et ainsi de suite.
102. En général, si en substituant la valeur connue de
dans le dénominateur de l’expression générale de
du no 101, on trouve que ce dénominateur devient nul, alors on le différentiera autant de fois de suite qu’il sera nécessaire pour qu’il ne devienne plus zéro par la même sub-