Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/388

De là et du n^o 103 on conclura donc que, dans ce cas, chaque valeur de $y$ ne pourra être donnée en $t$ qu’au moyen d’une équation du degré laquelle renfermera à la fois toutes les valeurs de $y$ répondantes à une même valeur de $t.$

Au reste on peut simplifier beaucoup la solution du cas dont il s’agit en le ramenant à celui des fonctions semblables ; car il est visible que si à la valeur $t',$ par exemple, répondent les valeurs $y',y'',y''',\ldots ,y^{(\sigma )},$ toute fonction de la forme $f\left[\left(y',y'',y''',\ldots ,y^{(\sigma )}\right)\right]$ sera telle, qu’elle n’admettra plus que $\rho$ valeurs différentes comme la fonction $t',$ et qu’ainsi ces deux fonctions seront des fonctions semblables des racines $x',x'',x''',\ldots .$ Par conséquent, en prenant à la place de la fonction $y$ une fonction quelconque de la forme $f\left[\left(y',y'',y''',\ldots ,y^{(\sigma )}\right)\right],$ on trouvera directement la valeur de cette fonction en $t$ par la solution du n^o 100, en employant simplement l’équation $\theta =0,$ qui n’aura pour racines que les $\rho$ différentes valeurs de $t.$ Ainsi l’on pourra connaître par ce moyen tous les coefficients de l’équation dont les valeurs $y',y'',y''',$$\ldots ,y^{(\sigma )}$ seront les racines, puisque chacun de ces coefficients est nécessairement une fonction de la même forme $f\left[\left(y',y'',y''',\ldots ,y^{(\sigma )}\right)\right]$ (89).

104. Donc

1^o Si l’on a deux fonctions quelconques $t$ et $y$ des racines $x',x'',x''',\ldots$ de l’équation

$x^{\mu }+mx^{\mu -1}+nx^{\mu -2}+\ldots =0,$

et que ces fonctions soient telles, que toutes les permutations entre les racines $x',x'',x''',\ldots$ qui feront varier la fonction $y,$ fassent varier aussi en même temps la fonction $t,$ on pourra, généralement parlant, avoir la valeur de $y$ en $t$ et en $m,n,p,\ldots ,$ par une expression rationnelle, de manière que connaissant une valeur de $t$ on connaîtra aussi immédiatement la valeur correspondante de $y\,;$ nous disons généralement parlant, car s’il arrive que la valeur connue de $t$ soit une racine double, ou triple, etc. de l’équation en $t,$ alors la valeur correspondante de $y$ dépendra d’une équation carrée, ou cubique, etc., dont tous les coefficients seront des fonctions rationnelles de $t$ et de $m,n,p,\ldots .$