De cette manière les trois fonctions précédentes pourront s’exprimer simplement par les formules
![{\displaystyle f\left[\left(y',y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)\right],\quad f\left[\left(z',z^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)\right],\quad f\left[\left(u',u^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06a7b1a3bdd7b0c56e922baaa14f10cc7e104eda)
et les quantités
seront les racines de trois équations du second degré telles que
![{\displaystyle {\begin{aligned}y^{2}-\ ay+b=&0,\\z^{2}-\ cz+d=&0,\\u^{2}-fu+g=&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/929dded044367af63563adb0833fd1bc76bff881)
où les coefficients
seront racines d’une équation du troisième degré, ainsi que les trois autres coefficients
.
Il ne reste donc qu’a trouver la forme que doit avoir la fonction pour que les conditions prescrites aient lieu. Pour y parvenir de la manière la plus générale, on prendra une autre fonction quelconque de
qu’on désignera par la caractéristique
on formera, comme ci-dessus, les vingt-quatre fonctions qui répondent aux vingt-quatre permutations qu’on peut faire entre les racines
; et l’on désignera ces fonctions par les quantités ![{\displaystyle {\rm {Y',Y'',\ldots ,Y^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}},\ Z',Z'',\ldots ,Z^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}},}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d97bd46c4a9e92aaa3f56f198356d73c0e3e8013)
c’est-à-dire qu’on changera dans les formules ci-dessus la caractéristique
en
et les petites lettres
dans les grandes lettres
Ensuite, en prenant de nouveau la caractéristique
pour désigner une fonction quelconque, il est facile de voir qu’on aura, en général,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}y'=&\varphi \left[\mathrm {\left(Y',Y'',Y''',Y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)} \right],&y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=&\varphi \left[\mathrm {\left(Y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},Y^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}},Y^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}},Y^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}\right)} \right],\\z'\,=&\varphi \left[\mathrm {\left(Z'\,,Z''\,,Z'''\,,Z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)} \right],&z^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\,=&\varphi \left[\mathrm {\left(Z^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\,,Z^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}\,,Z^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}}\,,Z^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}\right)} \right],\\u'=&\varphi \left[\mathrm {\left(U',U'',U''',U^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)} \right],&\qquad u^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=&\varphi \left[\mathrm {\left(U^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},U^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}},U^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}},U^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}}\right)} \right].\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be0c4d15067cb55f30a5197dcf00ef7497205e5c)
De là il est aisé de conclure que la détermination des fonctions
dépendra maintenant d’une équation du quatrième degré, ainsi que celle des fonctions
et il en sera de même des autres fonctions
et
qui dépendront aussi quatre à quatre d’équations du quatrième degré.