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la même relation qu’ont les racines ${\rm {Y',Y'',Y''',Y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}$ laquelle consiste en ce que l’une dérive de l’autre par les échanges de $x'$ en $x'',$ $x''$ en $x''',$ $x'''$ en $x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ et $x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ en $x'.$

Les fonctions

$x'+x'''-x''-x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},\quad x'x'''-x''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},$

et d’autres semblables, auront la propriété dont il s’agit.

2^o On peut aussi rendre résoluble l’équation générale

${\rm {Y^{4}-AY^{3}+BY^{2}-CY+D=0,}}$

en la réduisant à deux seuls termes

${\rm {Y^{4}+D=0\,;}}$

auquel cas les quatre racines ${\rm {Y',Y'',Y''',Y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}}}$ seront exprimées ainsi

${\rm {{\sqrt[{4}]{-D}},\quad \alpha ^{3}{\sqrt[{4}]{-D}},\quad \alpha ^{2}{\sqrt[{4}]{-D}},\quad \alpha {\sqrt[{4}]{-D}},}}$

en prenant $1,\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3}$ pour les quatre racines quatrièmes de l’unité ; de sorte que la condition pour ce cas sera, à cause de $\alpha ^{4}=1,$

${\rm {Y'=\alpha Y''=\alpha ^{2}Y'''=\alpha ^{3}Y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}},}}$

c’est-à-dire qu’il faudra que la fonction $\Phi$ soit telle, qu’on ait

${\begin{aligned}\Phi \left[(x')(x'')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)\right]&=\alpha \,\ \Phi \left[(x'')(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')\right]\\&=\alpha ^{2}\Phi \left[(x''')\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')(x'')\right]\\&=\alpha ^{3}\Phi \left[\left(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)(x')(x'')(x''')\right].\end{aligned}}$

Et alors toutes les équations du quatrième degré d’où dépendent les autres quantités ${\rm {Y^{\scriptscriptstyle {\text{V}}},Y^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}},Y^{\scriptscriptstyle {\text{VII}}},Y^{\scriptscriptstyle {\text{VIII}}},Z',Z'',\ldots }}$ se trouveront aussi réduites au même état, par la raison énoncée ci-dessus.

Il est facile de trouver que la fonction

$x'+\alpha x''+\alpha ^{2}x'''+\alpha ^{3}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$

aura la propriété requise ; d’où l’on peut conclure que l’analyse précédente contient le fondement de la méthode du n^o 47.