Maintenant, à cause de
![{\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{2a}}={\frac {c}{e}}\quad {\text{et}}\quad b^{2}={\frac {c^{2}-1}{e^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaebb486131c995b803974bf6e9e154c145514c4)
les deux facteurs de cette équation seront
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-f'\ x+{\frac {cf'\ }{e}}+{\frac {1-c^{2}}{e^{2}}}=0,\\x^{2}-f''x+{\frac {cf''}{e}}+{\frac {1-c^{2}}{e^{2}}}=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf2895128c6dc8d179dc956eacbe8ec80a8bcf4)
qui, étant multipliés l’un par l’autre, donnent
![{\displaystyle x^{4}-(f'+f'')x^{3}+\left[f'f''+{\frac {c}{e}}(f'+f'')+{\frac {2\left(1-c^{2}\right)}{e^{2}}}\right]x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e6449223aee60eed0fe16c56bc3da04003e0c81)
![{\displaystyle -\left[{\frac {2c}{e}}f'f''+{\frac {1-c^{2}}{e^{2}}}(f'+f'')\right]x+{\frac {c^{2}}{e^{2}}}f'f''+{\frac {c\left(1-c^{2}\right)}{e^{3}}}(f'+f'')+{\frac {\left(1-c^{2}\right)}{e^{4}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09abd8efd93473374075cc5f042be6bffaed7e7e)
La comparaison des trois premiers termes de cette équation avec ceux de la précédente donne d’abord
![{\displaystyle f'+f''={\frac {1+3c}{e}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed71df5a31b63c06761d0248a02a4310f4393d35)
![{\displaystyle f'f''+{\frac {c}{e}}(f'+f'')+{\frac {2\left(1-c^{2}\right)}{e^{2}}}={\frac {1+2c+3c^{2}}{e^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671a66e494ef21e620d88add6cb4009bebedfb09)
et par conséquent
![{\displaystyle f'f''={\frac {-1+c+2c^{2}}{e^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/177cc4aa21304af24078d66ec220695f7ab19a8e)
Et l’on trouvera que ces valeurs de
et de
satisferont aussi à la comparaison des autres termes.
Ainsi, les quantités
et
seront les racines de cette équation
![{\displaystyle f^{2}-{\frac {1+3c}{e}}f+{\frac {-1+c+2c^{2}}{e^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb8d7cb7ba112a287925730cc85b42c333410f4)
J’avoue qu’on peut résoudre le Problème précédent d’une manière plus simple, comme Newton l’a fait dans son Arithmétique universelle, où, à l’aide d’un certain choix entre les inconnues, il parvient d’abord à deux équations du second degré ; mais, d’un côté, il me semble que la