Donc, si l’on désigne par
les cinq termes en progression arithmétique qu’on suppose être premiers entre eux, ces termes devront être tous de ces formes
et la différence 
ne pourra être que de celles-ci
Supposons d’abord 
de la forme 
et soit, s’il est possible, de la forme 
on aura
d’où l’on voit qu’il est impossible que les cinq nombres
aient à la fois les formes requises.
On trouvera la même impossibilité en prenant les autres formes de 
d’où l’on conclura d’abord que ne saurait être de la forme 
on supposera ensuite 
et, examinant successivement toutes les formes de 
on verra aussi qu’aucune d’elles ne pourra donner pour les autres nombres
les formes requises ; d’où il s’ensuit que la différence ne pourra jamais être ni de la forme ni de celle-ci 
par conséquent elle devra être nécessairement de la forme 
c’est-à-dire divisible par 
Si l’on ne veut pas exclure le nombre 
de la progression, il est d’abord clair que ce nombre ne pourra être pris que pour le premier terme, puis-
