Pour donner un exemple de l’usage de cette formule, soit proposé de trouver l’intégrale de
qu’on sait d’ailleurs être égale à
on aura donc dans ce cas
et faisant, pour plus de simplicité,
on aura
![{\displaystyle \log x=\sum {\frac {1}{x}}+{\frac {\mu }{x}}+\nu \Delta {\frac {1}{x}}+\varpi \Delta ^{2}{\frac {1}{x}}+\chi \Delta ^{3}{\frac {1}{x}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295481d3ed67ea74a719097ff5965ca870b0bec6)
Or puisque
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum {\frac {1}{x}}=&{\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x-2}}+{\frac {1}{x-3}}+\ldots ,\\\Delta \ \ {\frac {1}{x}}=&{\frac {1}{x+1}}-{\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{x(x+1)}},\\\Delta ^{2}{\frac {1}{x}}=&-{\frac {1}{(x+1)(x+2)}}+{\frac {1}{x(x+1)}}={\frac {2}{x(x+1)(x+2)}},\\\Delta ^{3}{\frac {1}{x}}=&{\frac {2}{(x+1)(x+2)(x+3)}}-{\frac {2}{x(x+1)(x+2)}}=-{\frac {2.3}{x(x+1)(x+2)(x+3)}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06bb150bf83deea966658cf197aedfca3b3285c5)
et, en général,
![{\displaystyle \Delta ^{\lambda }{\frac {1}{x}}=\pm {\frac {1.2.3\ldots \lambda }{x(x+1)(x+2)\ldots (x+\lambda )}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15cf754c083aaaaeb1413fa79150773a352d4331)
le signe supérieur étant pour le cas où
est pair, et l’inférieur pour le cas où
est impair.
Donc, substituant ces valeurs, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\log x=&{\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x-2}}+{\frac {1}{x-3}}+\ldots \\&+{\frac {\mu }{x}}-{\frac {\nu }{x(x+1)}}+{\frac {2\varpi }{x(x+1)(x+2)}}-{\frac {2.3.\chi }{x(x+1)(x+2)(x+3)}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5102768bb66d64eb96dc8e322751a74949b96f6)
De même, si l’on met
à la place de
étant un nombre entier quelconque, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\log(x-n)=&{\frac {1}{x-n-1}}+{\frac {1}{x-n-2}}+{\frac {1}{x-n-3}}+\ldots \\&+{\frac {\mu }{x-n}}-{\frac {\nu }{x-n(x-n+1)}}\\&+{\frac {2\varpi }{(x-n)(x-n+1)(x-n+2)}}-\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9a21f5a99553043e8830e93f8218a978df7ea6a)