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et ainsi de suite, on aura

${\begin{aligned}d^{\lambda }p^{r}=&r(r-1)(r-2)\ldots (r-\lambda +1)p^{r-\lambda }q^{\lambda }dx^{\lambda }\\&\times \left[1+{\frac {\lambda (\lambda -1)}{r-\lambda +1}}{\frac {cp}{q^{2}}}+{\frac {\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -3)}{2(r-\lambda +1)(r-\lambda +2)}}{\frac {c^{2}p^{2}}{q^{4}}}\right.\end{aligned}}$

$+\left.{\frac {\lambda (\lambda -1)\ldots (\lambda -5)}{2.3.(r-\lambda +1)(r-\lambda +2)(r-\lambda +3)}}{\frac {c^{3}p^{3}}{q^{6}}}+\ldots \right],$

où

${\begin{aligned}p=&a+bx+cx^{2},\\q=&b+2cx.\end{aligned}}$

De là on peut, en changeant $\lambda$ en $-\lambda ,$ tirer la valeur de $\int ^{\lambda }p^{r}dx^{\lambda },$ et l’on trouvera, d’après ce qui a été remarqué dans le numéro précédent,

${\begin{aligned}\int ^{\lambda }p^{r}d^{\lambda }=&{\frac {p^{r+\lambda }}{(r+1)(r+2)\ldots (r+\lambda )q^{\lambda }}}\\&\times \left[1+{\frac {\lambda (\lambda +1)}{r+\lambda +1}}{\frac {cp}{q^{2}}}+{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)(\lambda +3)}{2(r+\lambda +1)(r+\lambda +2)}}{\frac {c^{2}p^{2}}{q^{4}}}\right.\end{aligned}}$

$+\left.{\frac {\lambda (\lambda +1)\ldots (\lambda +5)}{2.3.(r+\lambda +1)(r+\lambda +2)(r+\lambda +3)}}{\frac {c^{3}p^{3}}{q^{6}}}+\ldots \right].$

Ainsi, faisant $\lambda =1,$ on aura

${\begin{aligned}\int p^{r}dx={\frac {p^{r+1}}{(r+1)q}}&\left[1+{\frac {2cp}{(r+2)q^{2}}}+{\frac {3.4.c^{2}p^{2}}{(r+2)(r+3)q^{4}}}\right.\\&\quad +\left.+{\frac {4.5.6.c^{3}p^{3}}{(r+2)(r+3)(r+4)q^{6}}}+\ldots \right],\end{aligned}}$

ce qu’on peut aisément vérifier par la différentiation.

Si dans l’expression précédente on fait $2c=k,$ on aura plus simplement

${\begin{aligned}\int p^{r}dx=&{\frac {p^{r+1}}{(r+1)q}}+{\frac {kp^{r+2}}{(r+1)(r+2)q^{3}}}+{\frac {1.3.k^{2}p^{r+3}}{(r+1)(r+2)(r+3)q^{5}}}\\&+{\frac {1.3.5.k^{3}p^{r+5}}{(r+1)(r+2)(r+3)(r+4)q^{7}}}+\ldots .\end{aligned}}$

et l’on reconnaîtra facilement la vérité de cette formule en remarquant que $dp=qdx$ et $dq=kdx.$