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Ainsi cette série, multipliée par $p^{r},$ sera égale au terme

${\frac {m^{\lambda }d^{\lambda }u}{1.2.3\ldots \lambda }},$

de sorte qu’on aura, en remettant ${\frac {dx}{2p}}$ à la place de $dt$ et $p^{r}$ à la place de $u,$

${\begin{aligned}d^{\lambda }p^{r}=&2r(2r-1)(2r-2)\ldots (2r-\lambda +1)\left({\frac {q}{2}}\right)^{\lambda }p^{r-\lambda }dx^{\lambda }\\&\times \left[1+r{\frac {\lambda (\lambda -1)}{2r(2r-1)}}{\frac {h}{q^{2}}}+{\frac {r(r-1)}{2}}{\frac {\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -3)}{2r(2r-1)(2r-2)(2r-3)}}{\frac {h^{2}}{q^{4}}}\right.\\\end{aligned}}$

$\left.+{\frac {r(r-1)(r-2)}{2.3}}{\frac {\lambda (\lambda -1)\ldots (\lambda -5)}{2r(2r-1)\ldots (2r-5)}}{\frac {h^{3}}{q^{6}}}\right].$

Si dans cette formule on fait

$r=-{\frac {1}{2}}\quad {\text{et}}\quad p=1-x^{2},$

par conséquent

$a=1,\quad b=0,\quad c=-1,\quad q=-2x,\quad h=-4,$

on aura

${\begin{aligned}d^{\lambda }{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}=&{\frac {1.2.3\ldots \lambda .x^{\lambda }dx^{\lambda }}{\left(1-x^{2}\right)^{\lambda +{\frac {1}{2}}}}}\\&\times \left[1+{\frac {1}{2}}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{1.2.x^{2}}}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {\lambda (\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -3)}{1.2.3.4.x^{4}}}\right.\end{aligned}}$

$\left.+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}{\frac {\lambda (\lambda -1)\ldots (\lambda -5)}{1.2\ldots 6.x^{6}}}+\ldots \right].$

C’est la formule que M. Euler a trouvée par induction dans ses Institutions du Calcul différentiel.

On peut aussi, dans la formule générale ci-dessus, faire $\lambda$ négatif, et l’on aura alors, comme dans le numéro précédent,

${\begin{aligned}\int ^{\lambda }p^{r}dx^{\lambda }&={\frac {p^{r+\lambda }}{(2r+1)(2r+2)\ldots (2r+\lambda )\left({\frac {q}{2}}\right)^{\lambda }}}\\&\times \left[1+r{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2r(2r-1)}}{\frac {h}{q^{2}}}+{\frac {r(r-1)}{2}}{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)(\lambda +3)}{2r(2r-1)(2r-2)(2r-3)}}{\frac {h^{2}}{q^{4}}}\right.\end{aligned}}$

$\left.+{\frac {r(r-1)(r-2)}{2.3}}{\frac {\lambda (\lambda +1)(\lambda +2)\ldots (\lambda +5)}{2r(2r-1)(2r-2)\ldots (2r-5)}}{\frac {h^{3}}{q^{6}}}=\ldots \right].$