racines,
en soit une aussi ; donc lorsque
les deux racines
et
deviendront égales.
On peut encore prouver la même chose par la nature même de l’équation en
car pour avoir cette équation il n’y aura, comme nous l’avons dit, qu’à substituer l’expression générale de
trouvée ci-dessus, et que nous désignerons, pour plus de simplicité, par
dans l’équation
![{\displaystyle \mathrm {M(A-M)+N+{\frac {D}{N}}=B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7d5fc256fa4014e8db9c0d8b03d30323751e1e6)
ce qui donnera, en ôtant les fractions,
![{\displaystyle \mathrm {Q^{2}-\left(B-AM+M^{2}\right)QP+DP^{2}} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b37f1e1b19f854ec63c88432973835bf8605959c)
où
![{\displaystyle \mathrm {P=A-2M} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {Q=C-BM+AM^{2}-M^{3}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b6a1cf4d6e96a7e33140a40828930126fb6749)
Maintenant il est clair que si l’on a en même temps
et
non seulement l’équation précédente aura lieu elle-même, mais aussi sa différentielle, qui sera
![{\displaystyle 2\mathrm {Q} d\mathrm {Q} +\mathrm {(A-2M)QP} d\mathrm {M} -\mathrm {\left(B-AM+M^{2}\right)} (\mathrm {Q} d\mathrm {P} +\mathrm {P} d\mathrm {Q} )+2\mathrm {DP} d\mathrm {P} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c479b8b79272a0b4f4887d178df549a191b8d5)
d’où il s’ensuit que la racine
sera nécessairement une racine double.
8. Comme la voie de l’élimination est très-longue, et que d’ailleurs elle ne pourrait jamais conduire qu’à des résultats particuliers, il faudra tâcher de découvrir à priori le degré et la nature de l’équation par laquelle la quantité
devra être déterminée, ainsi que la nature des fonctions qui exprimeront les valeurs des autres quantités
en
Pour cela on considérera que, puisque l’équation
![{\displaystyle x^{n}-\mathrm {M} x^{n-1}+\mathrm {N} x^{n-2}-\ldots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c60233808f1a759d4cdfe7ce1385c78df414ce2)
est supposée être un facteur de l’équation proposée
![{\displaystyle x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c59fb2af6b59684b1085f97cfe691d438653734)