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racines, $\mathrm {A-M}$ en soit une aussi ; donc lorsque $\mathrm {M={\frac {A}{2}}} ,$ les deux racines $\mathrm {M}$ et $\mathrm {A-M}$ deviendront égales.

On peut encore prouver la même chose par la nature même de l’équation en $\mathrm {M} \,;$ car pour avoir cette équation il n’y aura, comme nous l’avons dit, qu’à substituer l’expression générale de $\mathrm {N}$ trouvée ci-dessus, et que nous désignerons, pour plus de simplicité, par $\mathrm {\frac {Q}{P}} ,$ dans l’équation

$\mathrm {M(A-M)+N+{\frac {D}{N}}=B} ,$

ce qui donnera, en ôtant les fractions,

$\mathrm {Q^{2}-\left(B-AM+M^{2}\right)QP+DP^{2}} =0,$

où

$\mathrm {P=A-2M} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {Q=C-BM+AM^{2}-M^{3}} .$

Maintenant il est clair que si l’on a en même temps $\mathrm {P} =0$ et $\mathrm {Q} =0,$ non seulement l’équation précédente aura lieu elle-même, mais aussi sa différentielle, qui sera

$2\mathrm {Q} d\mathrm {Q} +\mathrm {(A-2M)QP} d\mathrm {M} -\mathrm {\left(B-AM+M^{2}\right)} (\mathrm {Q} d\mathrm {P} +\mathrm {P} d\mathrm {Q} )+2\mathrm {DP} d\mathrm {P} =0\,;$

d’où il s’ensuit que la racine $\mathrm {M={\frac {A}{2}}}$ sera nécessairement une racine double.

8. Comme la voie de l’élimination est très-longue, et que d’ailleurs elle ne pourrait jamais conduire qu’à des résultats particuliers, il faudra tâcher de découvrir à priori le degré et la nature de l’équation par laquelle la quantité $\mathrm {M}$ devra être déterminée, ainsi que la nature des fonctions qui exprimeront les valeurs des autres quantités $\mathrm {N,P,Q} ,\ldots$ en $\mathrm {M} .$

Pour cela on considérera que, puisque l’équation

$x^{n}-\mathrm {M} x^{n-1}+\mathrm {N} x^{n-2}-\ldots =0$

est supposée être un facteur de l’équation proposée

$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}=0,$