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mais la quantité

${\frac {(2n-3)(2n-4)(2n-5)\ldots n}{1.2.3\ldots (n-2)}}$

est toujours un nombre entier, puisque c’est le coefficient du $(n-1)$^ième terme d’un binôme élevé à la puissance $2n-3\,;$ donc le double de ce nombre sera toujours nécessairement un nombre pair.

24. Nous venons donc de démontrer rigoureusement que, en considérant une équation du degré $2^{r}$ comme exactement divisible par une autre équation du degré $2^{r-1},$ le coefficient $\mathrm {M}$ du second terme de celle-ci sera nécessairement déterminé par une équation telle, qu’en y faisant

$\mathrm {M} ={\frac {\mathrm {A} -u}{2}}$

($\mathrm {A}$ étant le coefficient du second terme de la proposée), et ensuite

$u^{2}=t,$

il viendra une transformée en $t$ d’un degré impair, et qui aura son dernier terme négatif en sorte que l’inconnue $t$ aura toujours une valeur réelle positive ; moyennant quoi la valeur de $u$ sera aussi réelle.

Donc, puisque $\mathrm {M}$ a nécessairement une valeur réelle, il s’ensuit (13) que tous les autres coefficients $\mathrm {N,P,Q} ,\ldots$ du diviseur en question auront aussi chacun une valeur réelle, à moins que la valeur réelle de $\mathrm {M}$ ne soit une racine multiple de l’équation en $\mathrm {M} \,;$ auquel cas il peut arriver que les valeurs des autres coefficientssoient imaginaires, comme nous l’avons déjà remarqué plus haut.

Il est donc nécessaire d’examiner ce cas, et de voir comment il faudrait s’y prendre pour trouver alors un diviseur tout rationnel de l’équation proposée.

Je commence d’abord par remarquer que comme $u={\sqrt {t}},$ on aura $\mathrm {M} ={\frac {\mathrm {A} \pm {\sqrt {t}}}{2}}\,;$ d’où l’on voit que chaque valeur de $t$ donnera deux valeurs de $\mathrm {M} ,$ qui ne seront jamais égales, à moins que l’on n’ait $t=0\,;$ de plus