de l’équation générale du quatrième degré
![{\displaystyle x^{4}-\mathrm {A} x^{3}+\mathrm {B} x^{2}-\mathrm {C} x+\mathrm {D} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e6d0d01a8972352f27322d58cf09be31ebfd61b)
En substituant l’expression de
en
et faisant ensuite
![{\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {\mathrm {A} +u}{2}}={\frac {\mathrm {A} +{\sqrt {t}}}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79256e6d4a339819fa907527fab91dd827690dbe)
on trouve cette réduite en ![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
![{\displaystyle t^{3}-\mathrm {\left(3A^{2}-8B\right)} t^{2}+\mathrm {\left(3A^{4}-16A^{2}B+16B^{2}+16AC-64D\right)} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c294ffe28bf772c6e5836cd51de90caba4b2eda)
![{\displaystyle -\mathrm {\left(A^{3}-4AB+8C\right)} ^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c01cb6776d4537cffaaea6e251087ccaaed512e)
laquelle a, comme on voit, son dernier terme toujours négatif.
Maintenant, si l’on a
![{\displaystyle \mathrm {A^{3}-4AB+8C} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ea6f262792cf4c2d257ff6950a0ad6e87ba616c)
il est clair que l’équation précédente aura d’abord la racine
laquelle donnant
on tombera dans le cas que l’on a déjà examiné dans le numéro cité, et où l’autre coefficient
du diviseur
![{\displaystyle x^{2}-\mathrm {M} x+\mathrm {N} =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29dc93246775da2941a202a1f211c29623b4852e)
dépendra d’une équation du second degré qui n’aura de racines réelles que tant
ne surpassera pas
de sorte que dans le cas où
![{\displaystyle \mathrm {D} >\mathrm {\left({\frac {A^{2}}{8}}-{\frac {B}{2}}\right)} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15de58137756794e5996c48eaac7d7bbb88c41cb)
le coefficient
sera imaginaire, et l’équation proposée du quatrième degré se trouvera par ce moyen décomposée en deux équations imaginaires du second degré, lesquelles seront
![{\displaystyle x^{2}-{\frac {\mathrm {A} }{2}}x+\mathrm {N} '=0,\quad x^{2}-{\frac {\mathrm {A} }{2}}x+\mathrm {N} ''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61ed8f7e41c0a04ea69c64f5eb74965fec52d6f8)
et
étant les racines de l’équation
![{\displaystyle \mathrm {N^{2}+\left({\frac {A^{2}}{4}}-B\right)N+D} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62d79ac4ce505ba7d5819c72e2ec530d6e438754)