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que nous avons représentées ci-dessus par $x',x'',x''',\ldots ,x^{(2n)},$ c’est-àdire les racines de l’équation proposée.

De plus, en examinant les raisonnements des mêmes numéros, il n’est pas difficile de voir qu’ils ne tiennent pas à la forme particulière de la fonction $\mu ,$ mais seulement à la propriété qu’a cette fonction de demeurer la même, tandis qu’on échange entre elles les racines $x',x'',x''',\ldots ,x^{(n)},$ ou les racines $x^{(n+1)},x^{(n+2)},$$x^{(n+3)},\ldots ,x^{(2n)},$ et de devenir négative quand on échange les premières racines dans les dernières ; or cette propriété a lieu également dans les autres fonctions $\nu ,\varpi ,\ldots ,$ et dans la fonction générale $a\mu +b\nu +c\varpi +\ldots ,$ comme nous l’avons déjà observé plus haut ; de sorte qu’on peut hardiment appliquer à l’équation ci-dessus en $u$ ou en $t$ les mêmes conclusions qu’on a trouvées dans les numéros cités.

30. On est donc assuré que l’équation en $t$ aura toujours une racine réelle positive, et que par conséquent la quantité $u={\sqrt {t}}$ aura toujours au moins une valeur réelle. Or, dès qu’on connaîtra la valeur de la quantité $u,$ on pourra déterminer par son moyen les valeurs des autres quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$$\mu ,\nu ,\varpi ,\ldots ,$ lesquelles sont, ainsi que la quantité $u,$ représentées par des fonctions des mêmes racines $x',x'',x''',\ldots \,;$ et de ce que nous avons démontré ailleurs [Nouveaux Mémoires de l’Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1771^[1]], il s’ensuit que chacune de ces quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots \ \mu ,\nu ,\varpi ,\ldots ,$ sera donnée par une équation du premier degré seulement, si la valeur de $u$ est une racine inégale de l’équation en $u\,;$ mais si cette valeur est une racine égale, alors chacune des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$$\mu ,\nu ,\varpi ,\ldots ,$ sera donnée par une équation dont le degré aura un exposant égal à celui de l’égalité de la racine $u\,;$ or comme $u=\pm {\sqrt {t}},$ on voit d’abord que l’équation en $u$ n’aura de racines égales qu’autant que la transformée en $t$ en aura de telles, ou qu’elle aura des racines nulles ; car il est visible que $t=0$ donne deux valeurs égales à $u.$

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 374.