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que $x=a\,;$ cette équation donne

${\frac {dx}{x-a}}={\frac {\left(1+{\dfrac {t}{215}}\right)dt}{(t-c)\left(1+{\dfrac {c+t}{2.215}}\right)}}={\frac {dt}{t-c}}+{\frac {1}{2.215}}{\frac {dt}{1+{\dfrac {c+t}{2.215}}}},$

dont l’intégrale est

$\log(x-a)=\log(t-c)+\log \left(1+{\dfrac {c+t}{2.215}}\right)+\log k,$

$k$ étant une constante arbitraire ; d’où l’on tire

$x-a=k(t-c)\left(1+{\dfrac {c+t}{2.215}}\right),$

et comme en faisant $t=c$ on a déjà $x=a,$ il est clair que la constante $c$ demeure à volonté.

Si l’on néglige le terme ${\frac {c+t}{2.215}}$ vis-à-vis de l’unité, on a

$t-c={\frac {x-a}{k}},$

c’est-à-dire que les différences de chaleur sont proportionnelles aux différences de hauteur, en sorte que les hauteurs étant prises en progression arithmétique, les degrés de chaleur le seront aussi ; mais on voit par notre formule que cette loi, qui est celle de M. de Luc, n’est vraie que par approximation.

7. Si l’on voulait trouver une relation entre $t$ et $y,$ il n’y aurait qu’à faire pour plus de simplicité $\log y=z$ et $\log b=f$ pour avoir d’un côté

$f-z={\frac {(x-a)\log 10}{1+{\dfrac {c+t}{2.215}}}},$

et de l’autre

$-dz={\frac {dx\log 10}{1+{\dfrac {t}{215}}}}\,;$