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et qui représentera par conséquent les différentes racines qu’on aurait trouvées par la considération de tous les termes intermédiaires si ces termes n’avaient pas manqué.

Donc on aura dans ce cas autant de séries imaginaires que le radical

${\sqrt[{\nu }]{\mathrm {\frac {M}{N}} }}$

aura de valeurs imaginaires, c’est-à-dire qu’il y aura de racines imaginaires dans l’équation

$x^{\nu }-\mathrm {\frac {M}{N}} =0.$

Or, on sait que dans une équation qui manque de quelques-uns de ses termes, il y a nécessairement autant de racines imaginaires qu’il y en aurait dans l’équation qu’on pourrait faire, en égalant à zéro la somme des deux termes de cette équation entre lesquels devraient se trouver les termes manquants ; de sorte qu’en supposant ; comme plus haut, qué le terme $\mathrm {M} x^{\mu }$ soit suivi immédiatement du terme $-\mathrm {N} x^{\mu +\nu },$ il y aura nécessairement dans l’équation autant de racines imaginaires qu’il y en a dans l’équation

$\mathrm {M} x^{\mu }-\mathrm {N} x^{\mu +1}=0,$

ou bien

$\mathrm {\frac {M}{N}} -x^{\nu }=0.$

De là il s’ensuit qu’en combinant deux à deux tous les termes consécutifs d’une équation quelconque, on ne trouvera jamais d’expressions imaginaires pour les racines que lorsqu’il y aura réellement des racines imaginaires dans l’équation. Il n’en est pas de même lorsqu’on combine des termes qui ne sont pas immédiatement consécutifs ; dans ce cas, il arrivera souvent que les racines se présenteront sous une forme imaginaire, quoiqu’elles soient d’ailleurs réelles, comme nous l’avons déjà vu dans la Remarque qui est à la fin du Problème précédent.

34. Enfin, il résulte de ce que nous avons dit dans le n^o 31, que les