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$\zeta =d\rho \,;$ de plus il est clair que l’angle $qrt$ sera l’angle d’incidence du rayon $rq$ sur la couche $qt,$ lequel a été nommé plus haut $z,$ en sorte qu’on aura ici

$\operatorname {tang} z={\frac {ps}{qs}}={\frac {(r+s)d\varphi }{dx}},$

et de là

$d\varphi ={\frac {dx}{r+x}}\operatorname {tang} z.$

Enfin, comme la réfraction n’est due qu’à la différence de densité des deux couches contiguës $pt$ et $qr,$ il faudra prendre pour $\mathrm {D} ,$ non la quantité $-{\frac {dy}{dx}}$ qui est proportionnelle à la densité même en $pq,$ mais sa différentielle, à laquelle il faudra donner le signe $-,$ à cause que la densité est supposée diminuer à mesure que la hauteur $x$ augmente ; ainsi l’on aura

$\mathrm {D} =d{\frac {dy}{dx}}=-d{\frac {y\log 10}{1+{\dfrac {t}{215}}}}\,;$

de sorte qu’en faisant ces substitutions dans l’équation $\zeta =\lambda \mathrm {D} \operatorname {tang} z,$ on aura celle-ci

$d\varphi =-\lambda d{\frac {y\log 10}{1+{\dfrac {t}{215}}}}\times \operatorname {tang} z\,;$

or il est visible que

${\begin{aligned}dz=\mathrm {angle\ } \mathrm {C} rq-\mathrm {angle\ } \mathrm {C} qp=&\mathrm {angle\ } \mathrm {C} qt-\mathrm {angle\ } q\mathrm {C} r-\mathrm {angle\ } \mathrm {C} qp\\=&\mathrm {angle\ } \ pqt-\mathrm {angle\ } q\mathrm {C} r=d\rho -d\varphi \,;\end{aligned}}$

donc substituant pour $d\rho$ et $d\varphi$ les valeurs trouvées ci-dessus, et divisant l’équation par $\operatorname {tang} z,$ on aura

${\frac {dz}{\operatorname {tang} z}}=-\lambda d{\frac {y\log 10}{1+{\dfrac {t}{215}}}}-{\frac {dx}{r+x}},$

équation intégrable, laquelle étant intégrée en sorte que $\mathrm {Z}$ soit la valeur