complète de
ne sera plus simplement
![{\displaystyle \mathrm {M} (du-pdx-qdy),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc662ebc74a7b1a152e586c53ac8311b66b54202)
mais
![{\displaystyle \mathrm {M} (du-pdx-qdy)+{\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}d\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2e18506f1198ccdec6772f3656b39d1621bfc4a)
de sorte qu’on aura, dans l’hypothèse de la variabilité de ![{\displaystyle \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2cc8f6d373595f06dcd33f127dadf2b9d5727f)
![{\displaystyle \mathrm {N} =\int \mathrm {M} (du-pdx-qdy)+\int {\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}d\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd444dd587b2bd8a5a61612cf449df7e6026d98f)
et par conséquent
![{\displaystyle \int \mathrm {M} (du-pdx-qdy)=\mathrm {N} -\int {\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}d\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/120af47f57630ad719bc2dc8fe2127281e66270d)
Donc, si pour satisfaire aux conditions du Problème on veut que la différentielle
![{\displaystyle \mathrm {M} (du-pdx-qdy)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e775f986de5e2249bef789b473d8e79d9220b6f)
soit intégrable d’elle-même, il faudra que la différentielle
le soit aussi en particulier ; ce qui ne saurait évidemment avoir lieu, à moins que
ne soit une fonction quelconque de ![{\displaystyle \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794850adc0db51d11a6d8cfa857538183424909c)
Que
dénote donc une fonction quelconque de
et supposant
on fera
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}=f'(\alpha ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28d3498a68dbf27ad68701af0ae112715539edb4)
équation par laquelle on pourra déterminer
Ensuite on aura
![{\displaystyle \int {\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}d\alpha =f(\alpha )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb0908490eb9960fa9231fef9ccc89893fb81c2)
donc
![{\displaystyle \int \mathrm {M} (du-pdx-qdy)=\mathrm {N} -f(\alpha )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab5074b7d9172cb3a08a020ad338dab1bf17198)
de là on aura l’équation intégrale
![{\displaystyle \mathrm {N} -f(\alpha )=\mathrm {une\ const} .,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec485db0066c4ebd03426785801ae51da3710c70)