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laquelle doit être une différentielle exacte, ou d’elle-même, ou étant multipliée par un facteur convenable $\mathrm {M} \,;$ et il est d’abord clair que, comme $\mathrm {X}$ est une fonction donnée de $x$ et $y,$ si l’on cherche le facteur $m$ qui rendra intégrable la quantité $dx+\mathrm {X} dy,$ et qu’on suppose ensuite

$m(dx+\mathrm {X} dy)=dz,$

on aura à rendre intégrable cette quantité plus simple

$du-{\frac {p}{m}}dz-\mathrm {Y} dy,$

où ${\frac {p}{m}}$ est une fonction inconnue, et $\mathrm {Y}$ une fonction connue de $x$ et de $y,$ ou bien de $z$ et de $y,$ en substituant à la place de $x$ sa valeur en $y$ et $z$ tirée de l’équation

$\int m(dx+\mathrm {X} dy)=z\,;$

or on sait que la quantité dont il s’agit sera intégrable si l’on a

${\frac {d{\dfrac {p}{m}}}{dy}}={\frac {d\mathrm {Y} }{dz}}\,;$

ce qui donne, en intégrant suivant $y,$

${\frac {p}{m}}=\int {\frac {d\mathrm {Y} }{dz}}dy+\alpha ,$

$\alpha$ étant une constante arbitraire ; ainsi l’on a une valeur particulière de $p,$ laquelle donne

$\mathrm {N} =u-\alpha z-\int \mathrm {Y} dy\,;$

donc

${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}=-z=f'(\alpha ),$

ce qui servira à déterminer $\alpha \,;$ ensuite de quoi on aura l’équation

$\mathrm {N} -f(\alpha )=u-\alpha z-\int \mathrm {Y} dy-f(\alpha )=0.$