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savoir

$du-ypdz-(pz+\mathrm {P} )dy=0\,;$

et l’on voit que cette équation peut devenir intégrable en supposant $p$ une fonction de $z$ seul (ce qui rendra pareillement $\mathrm {P}$ une fonction de $z$), pourvu qu’on ait

$pz+\mathrm {P} =\int pdz,$

savoir

$pdz=pdz+zdp+d\mathrm {P} ,$

ou bien

$zdp+d\mathrm {P} =0\,;$

équation différentielle entre $p$ et $z,$ d’où l’on pourra, par l’intégration, tirer la valeur de $p$ en $z,$ laquelle contiendra une constante arbitraire $\alpha .$ De cette manière on aura, par l’intégration,

$\mathrm {N} =u-y\int pdz,$

et ensuite

${\frac {d\mathrm {N} }{d\alpha }}=-y\int {\frac {dp}{d\alpha }}dz=f'(\alpha ),$

d’où l’on tirera $\alpha ,$ qu’on substituera ensuite dans l’équation

$\mathrm {N} -f(\alpha )=u-y\int pdz-f(\alpha )=0.$

Au reste, comme on doit avoir dans ce cas $y=\mathrm {Q} x,$ $\mathrm {Q}$ étant une fonetion de $p$ et $q,$ on pourra le résoudre aussi plus simplement par la Remarque suivante, à l’aide de laquelle on peut le réduire au cinquième Cas ci-dessus.

Remarque. — Tels sont les principaux cas résolubles, en générale, lorsqu’il y a une équation entre $p,q,x$ et $y$ sans $u,$ et où par conséquent $p$ et $q$ peuvent être des fonctions de $x$ et $y$ seuls ; il faut cependant y ajouter encore ceux dans lesquels il y aura entre ces quatre quantités mêmes équations, mais en échangeant $x,y$ en $p,q,$ et réciproquement ;