Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/587

tion s’évanouira, ce qui arrive lorsque les trois points $\mathrm {M,M',M''}$ sont dans un même plan passant par le centre des coordonnées.

Comme toute pyramide est égale au tiers du produit de la base par la hauteur, si l’on divise la quantité ${\frac {\beta }{6}}$ par l’aire du triangle qui a ses trois angles, l’un au centre des coordonnées, les deux autres aux points $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {M} '',$ on aura la perpendiculaire menée de l’autre point $\mathrm {M}$ sur le plan de ce triangle ; or puisque ce même triangle est formé par les deux lignes ${\sqrt {a'}},{\sqrt {a''}},$ qui forment entre elles l’angle $\varepsilon ,$ on aura

${\frac {{\sqrt {a'a''}}\sin \varepsilon }{2}}$

pour son aire ; on a

$b={\sqrt {a'a''}}\cos \varepsilon \,;$

donc cette aire sera (3)

${\frac {\sqrt {a'a''-b^{2}}}{2}}={\frac {\sqrt {\alpha }}{2}}\,;$

donc ${\frac {\beta }{\sqrt {\alpha }}}$ sera la valeur de la perpendiculaire menée du point $\mathrm {M}$ sur le plan passant par le centre des coordonnées et par les deux autres points $\mathrm {M} '$ et $\mathrm {M} ''.$

De plus, si l’on imagine par le même centre des coordonnées deux autres plans, l’un perpendiculaire au rayon ${\sqrt {a'}}$ du point $\mathrm {M} ',$ l’autre perpendiculaire au rayon ${\sqrt {a''}}$ du point $\mathrm {M} '',$ on verra aisément que la distance perpendiculaire du point $\mathrm {M}$ sur le premier de ces plans sera représentée par

${\sqrt {a}}\sin \left(90^{\circ }-\varepsilon ''\right)={\sqrt {a}}\cos \varepsilon ''\,;$

et que la distance perpendiculaire du même point $\mathrm {M}$ sur l’autre plan le sera par

${\sqrt {a}}\sin \left(90^{\circ }-\varepsilon '\right)={\sqrt {a}}\cos \varepsilon '\,;$

donc, puisqu’on a trouvé plus haut

$b'={\sqrt {aa''}}\cos \varepsilon '\quad {\text{et}}\quad b''={\sqrt {aa'}}\cos \varepsilon '',$