Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/590

et l’on trouvera de même, par la simple analogie,

${\begin{alignedat}{2}x'\ =&y''z-z''y,\qquad &y'\ =&z''x-x''z,\qquad &z'\ =&x''y-y''x,\\x''=&yz'\ -zy',&y''=&zx'\ -xz',&z''=&xy'\ -yx'.\end{alignedat}}$

Et si l’on multiplie ces équations respectivementpar $x,y,z,x',y',z',\ldots ,$ et qu’on les ajoute ensemble trois à trois, on aura, en vertu du Lemme, ces nouvelles formules

${\begin{alignedat}{2}x^{2}+x'^{2}+x''^{2}=&1,\qquad &xy+x'y'+x''y''=0,\\y^{2}+y'^{2}\,+y''^{2}=&1,&xz+x'z'+x''z''=0,\\z^{2}\,+z'^{2}\,+z''^{2}=&1,&yz+y'z'\,+y''z''=0,\end{alignedat}}$

qui pourront aussi nous être utiles dans la suite.

Au reste, si l’on voulait dans cette hypothèse résoudre les six équations du n^o 2, c’est-à-dire déterminer six des neuf quantités $x,y,z,x',y',z',\ldots$ par les trois autres, on y parviendrait aisément à l’aide des formules précédentes ; car supposons que les trois données soient $x,y,x',$ on aura d’abord par la première équation du n^o 2

$z={\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}},$

ensuite la première des équations trouvées en dernier lieu donnera

$x''={\sqrt {1-x^{2}-x'^{2}}}.$

Connaissant ainsi les cinq quantités $x,y,z,x',x'',$ on trouvera les quatre autres à l’aide des équations

$z=x'y''-y'x'',\quad y=z'x''-x'z'',$

${\begin{aligned}xy+x'y'+x''y''=&0,\\xz+x'z'+x''z''=&0,\end{aligned}}$

lesquelles donnent

${\begin{alignedat}{2}y'\ =&-{\frac {x''z+xx''y}{x'^{2}+x''^{2}}},\qquad &z'\ =&{\frac {x''y-xx'z}{x'^{2}+x''^{2}}},\\y''=&{\frac {x'z-xx''y}{x'^{2}+x''^{2}}},\qquad &z''=&-{\frac {x'y+xx''z}{x'^{2}+x''^{2}}}.\end{alignedat}}$